Determine a equação da reta tangente a curva no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Essa inclinação é dada pela derivada da função no ponto considerado. Então, vamos calcular a derivada de .

Passo 3

A função dada é , que também pode ser escrita como . A derivada de em relação a é:
Essa é a fórmula geral da derivada para a nossa função.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixar no formato mais comum :
Adicionando em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Questão 2 (Escolha uma e apresente a resolução)
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32. ,
Calcule, se existirem, os limites