Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda, quando der. Se não der, usamos o teste da derivada primeira. Além disso, vamos achar os pontos de inflexão e ver onde o gráfico está côncavo pra cima ou pra baixo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e entender o que elas significam.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função . A derivada primeira nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.
Calculando cada termo:
  • A derivada de é
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Resolvendo para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada segunda da função para usar no teste da derivada segunda. A derivada segunda nos ajuda a determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Calculando a derivada:

Passo 5

Vamos aplicar o teste da derivada segunda nos pontos críticos encontrados:
  1. Para :
    Como , esse ponto é um mínimo relativo.
  2. Para :
    Como , esse ponto é um máximo relativo.

Passo 6

Vamos encontrar os pontos de inflexão resolvendo :
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 7

Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo:
  • Côncavo para cima: Quando .
  • Côncavo para baixo: Quando .
Então, o gráfico é côncavo para cima quando e côncavo para baixo quando .

Passo 8

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Tem um máximo relativo em .
  • Tem um mínimo relativo em .
  • Há um ponto de inflexão em , onde a concavidade muda.
  • O gráfico é côncavo para baixo à esquerda do ponto de inflexão e côncavo para cima à direita.

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Máximo relativo em .
  • Mínimo relativo em .
Há um ponto de inflexão em . O gráfico é côncavo para baixo quando e côncavo para cima quando .

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Determine a equação da reta tangente a curva no ponto indicado:
Questão 2 (Escolha uma e apresente a resolução)
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32. ,