Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da derivada segunda, quando der. Se não der, usamos o teste da derivada primeira. Além disso, vamos achar os pontos de inflexão e ver onde o gráfico está côncavo pra cima ou pra baixo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e entender o que elas significam.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira da função
. A derivada primeira nos ajuda a encontrar onde a função tem máximos ou mínimos.
Calculando cada termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Resolvendo para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada segunda da função
para usar no teste da derivada segunda. A derivada segunda nos ajuda a determinar se os pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Calculando a derivada:
Passo 5
Vamos aplicar o teste da derivada segunda nos pontos críticos encontrados:
-
Para
: Como, esse ponto é um mínimo relativo. -
Para
: Como, esse ponto é um máximo relativo.
Passo 6
Vamos encontrar os pontos de inflexão resolvendo
:
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Agora, vamos determinar onde o gráfico é côncavo para cima e para baixo:
-
Côncavo para cima: Quando
. -
Côncavo para baixo: Quando
.
Então, o gráfico é côncavo para cima quando
e côncavo para baixo quando
.
Passo 8
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Tem um máximo relativo em
. - Tem um mínimo relativo em
. - Há um ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda. - O gráfico é côncavo para baixo à esquerda do ponto de inflexão e côncavo para cima à direita.
Resposta
Os extremos relativos da função
são:
- Máximo relativo em
. - Mínimo relativo em
.
Há um ponto de inflexão em
. O gráfico é côncavo para baixo quando
e côncavo para cima quando
.
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Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto indicado:
Questão 2 (Escolha uma e apresente a resolução)
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32. ,
31-32 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
32.