Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da derivada segunda quando der, ou a derivada primeira se precisar. Além disso, vamos achar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem pontos onde a inclinação é zero, ou seja, possíveis máximos ou mínimos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como a derivada
é um polinômio, ela existe para todo valor de
. Então, igualamos a derivada a zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada segunda da função
, que nos ajudará a aplicar o teste da derivada segunda para determinar a natureza dos pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão).
Passo 5
Aplicando o teste da derivada segunda nos pontos críticos:
Para
:
Como
, a função tem um máximo relativo em
.
Para
:
Como
, a função tem um mínimo relativo em
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde
.
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 7
Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo:
- Côncava para cima: onde
- Côncava para baixo: onde
Analisando a derivada segunda
:
-
Para
: → Concava para baixo -
Para
: → Concava para cima
Resposta
Os extremos relativos da função
são:
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
Há um ponto de inflexão em
. A função é côncava para baixo no intervalo
e côncava para cima no intervalo
.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto indicado: