Nos Exercícios de l a 18, ache os extremos relativos da função dada usando o teste da derivada segunda, quando aplicável. Quando ele não for aplicável, use o teste da derivada primeira. Use a derivada segunda para encontrar os pontos de inflexão do gráfico da funçăo e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é para baixo. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada segunda quando der, ou a derivada primeira se precisar. Além disso, vamos achar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem pontos onde a inclinação é zero, ou seja, possíveis máximos ou mínimos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Como a derivada é um polinômio, ela existe para todo valor de . Então, igualamos a derivada a zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada segunda da função , que nos ajudará a aplicar o teste da derivada segunda para determinar a natureza dos pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de inflexão).

Passo 5

Aplicando o teste da derivada segunda nos pontos críticos:
Para :
Como , a função tem um máximo relativo em .
Para :
Como , a função tem um mínimo relativo em .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são os pontos onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde .
Então, temos um ponto de inflexão em .

Passo 7

Vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo:
  • Côncava para cima: onde
  • Côncava para baixo: onde
Analisando a derivada segunda :
  • Para :
    → Concava para baixo
  • Para :
    → Concava para cima

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Máximo relativo em
  • Mínimo relativo em
Há um ponto de inflexão em . A função é côncava para baixo no intervalo e côncava para cima no intervalo .

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Determine a equação da reta tangente a curva no ponto indicado: