Determine a equação da reta tangente a curva no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Esse tipo de problema envolve derivadas, que é o conteúdo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “toca” a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos saber duas coisas: um ponto pela qual a reta passa e sua inclinação.

Passo 3

A função dada é . Para achar a inclinação da reta tangente no ponto , precisamos calcular a derivada dessa função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto, ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de . Sabemos que . Usando a regra de potência para derivação, que diz que se , então , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 6

Sabemos que a equação da reta pode ser escrita na forma:
Onde é a inclinação e é o ponto dado. Aqui, e .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da reta:

Passo 8

Vamos deixar a equação mais arrumadinha. Distribuindo na expressão:
Simplificando:

Passo 9

Agora, isolamos o para obter a equação na forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

(a) Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor e interprete-o.
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use: ).
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use: ).