Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Esse tipo de problema envolve derivadas, que é o conteúdo de cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função
para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “toca” a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos saber duas coisas: um ponto pela qual a reta passa e sua inclinação.
Passo 3
A função dada é
. Para achar a inclinação da reta tangente no ponto
, precisamos calcular a derivada dessa função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto, ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
. Sabemos que
. Usando a regra de potência para derivação, que diz que se
, então
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Sabemos que a equação da reta pode ser escrita na forma:
Onde
é a inclinação e
é o ponto dado. Aqui,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula da reta:
Passo 8
Vamos deixar a equação mais arrumadinha. Distribuindo
na expressão:
Simplificando:
Passo 9
Agora, isolamos o
para obter a equação na forma
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
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? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor e interprete-o.
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Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).
Calcular a derivada da função dada a partir da definição (use:
).