(a) Qual o significado da derivada
? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor
e interprete-o.
(b) Dê uma estimativa do valor
Passo 1
Vamos resolver o exercício que trata sobre derivadas. No item (a), vamos entender o que significa a derivada
e quais são suas unidades. No item (b), faremos uma estimativa do valor de
e interpretaremos esse resultado. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de derivada e taxa de variação de funções.
Passo 2
Item (a): Significado da derivada
e suas unidades
A derivada
de uma função
em relação a
representa a taxa de variação de
conforme
varia. Em outras palavras, ela indica o quanto
está aumentando ou diminuindo a cada pequena variação de
.
Quanto às unidades, elas dependem das unidades de
e de
. Se
está em unidades como metros (m) e
em segundos (s), então
terá unidades de metros por segundo (m/s). De forma geral:
Passo 3
Item (b): Estimativa do valor
e sua interpretação
Para estimar
, precisamos avaliar a taxa de variação de
no ponto onde
. Sem uma função específica ou dados adicionais, podemos entender essa estimativa de forma geral.
Imaginemos que temos uma tabela ou gráfico de
. Uma maneira de estimar
é calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Isso pode ser feito usando a definição de derivada pelo limite ou aproximando com uma diferença finita:
onde
é um pequeno incremento em
.
Interpretação: O valor estimado de
nos diz quão rápido
está mudando exatamente no ponto
. Se
for positivo,
está aumentando naquele ponto; se for negativo, está diminuindo.
Resposta
(a) A derivada
representa a taxa de variação de
em relação a
. Suas unidades são as unidades de
divididas pelas unidades de
.
(b) A estimativa de
indica quão rapidamente
está mudando no ponto
. Sem valores específicos, a interpretação geral é que
mostra a velocidade de variação de
naquele instante.
Exercícios relacionados
Calcule.
j)
j)
vemos que
é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois.
é ponto de máximo relativo e
de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois
Determine a equação da reta tangente a curva
no ponto indicado: