(a) Qual o significado da derivada ? Quais são suas unidades?
(b) Dê uma estimativa do valor e interprete-o.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata sobre derivadas. No item (a), vamos entender o que significa a derivada e quais são suas unidades. No item (b), faremos uma estimativa do valor de e interpretaremos esse resultado. Para isso, vamos precisar dos conceitos básicos de derivada e taxa de variação de funções.

Passo 2

Item (a): Significado da derivada e suas unidades
A derivada de uma função em relação a representa a taxa de variação de conforme varia. Em outras palavras, ela indica o quanto está aumentando ou diminuindo a cada pequena variação de .
Quanto às unidades, elas dependem das unidades de e de . Se está em unidades como metros (m) e em segundos (s), então terá unidades de metros por segundo (m/s). De forma geral:

Passo 3

Item (b): Estimativa do valor e sua interpretação
Para estimar , precisamos avaliar a taxa de variação de no ponto onde . Sem uma função específica ou dados adicionais, podemos entender essa estimativa de forma geral.
Imaginemos que temos uma tabela ou gráfico de . Uma maneira de estimar é calcular a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Isso pode ser feito usando a definição de derivada pelo limite ou aproximando com uma diferença finita:
onde é um pequeno incremento em .
Interpretação: O valor estimado de nos diz quão rápido está mudando exatamente no ponto . Se for positivo, está aumentando naquele ponto; se for negativo, está diminuindo.

Resposta

(a) A derivada representa a taxa de variação de em relação a . Suas unidades são as unidades de divididas pelas unidades de .
(b) A estimativa de indica quão rapidamente está mudando no ponto . Sem valores específicos, a interpretação geral é que mostra a velocidade de variação de naquele instante.

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Calcule.
j)
. Pontos críticos em e . Como
vemos que é decrescente no primeiro destes intervalos e crescente nos outros dois. é ponto de máximo relativo e de mínimo relativo.A função não tem máximo ou mínimo absolutos, pois
Determine a equação da reta tangente a curva no ponto indicado: