Determine a equação da reta tangente à função
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a equação da reta tangente à função
no ponto
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para saber qual é o ponto exato onde vamos tangenciar a função.
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que vai nos dar a inclinação da reta tangente. A função
é uma fração, então vamos simplificá-la primeiro para facilitar a derivação.
Vamos dividir o polinômio no numerador pelo denominador:
Fazendo a divisão:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos do numerador: - Agora,
- Multiplicamos
por e subtraímos:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos derivar
:
A derivada de
é 1, a derivada de uma constante é 0, e a derivada de
é:
Então,
Passo 5
Vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação
da reta tangente é 2.
Passo 6
Agora, usamos a fórmula da reta:
, onde
e passa pelo ponto
. Vamos encontrar
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
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Determine os pontos críticos da função
e as equações das retas tangentes nesses pontos.
Um objeto se move ao longo de uma reta de acordo com a lei
, onde
é a distância em metros e
é o tempo em segundos. Determine a velocidade instantânea no instante
.
Determine a equação da reta tangente à função
, no ponto
.