Determine a equação da reta tangente à função g(x) = (x^2 - 5x + 3) / (x - 1), no ponto (2, g(2)).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a equação da reta tangente à função no ponto . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para saber qual é o ponto exato onde vamos tangenciar a função.
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que vai nos dar a inclinação da reta tangente. A função é uma fração, então vamos simplificá-la primeiro para facilitar a derivação.
Vamos dividir o polinômio no numerador pelo denominador:
Fazendo a divisão:
  1. Multiplicamos por e subtraímos do numerador:
  2. Agora,
  3. Multiplicamos por e subtraímos:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos derivar :
A derivada de é 1, a derivada de uma constante é 0, e a derivada de é:
Então,

Passo 5

Vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da reta: , onde e passa pelo ponto . Vamos encontrar :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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