Determine a equação da reta tangente à função g(x) = x^2 * ln(x), no ponto (e, g(e)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à função no ponto . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de e depois usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo por na função:
Sabemos que , então:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dará a inclinação da reta tangente. A função é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se temos , a derivada é .
Aqui, e . Vamos derivar cada uma:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto usando :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Por fim, vamos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Onde é o ponto de tangência e é a inclinação. Substituindo:
Podemos deixar a equação dessa forma ou expandir:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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