Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado: (b) em .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos principais: 1. O valor da função no ponto , que nos dá o ponto de tangência. 2. A derivada da função em , que nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto : Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A função é uma fração, então usaremos a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se , então

Passo 5

Identificando e , vamos calcular suas derivadas:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente: Simplificando o numerador:

Passo 7

Agora, calculamos a derivada no ponto : Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 8

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta: Substituindo os valores:

Passo 9

Simplificando a equação para a forma : Convertendo para vinte quintos: Então:

Resposta

A equação da reta tangente à função no ponto é:

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Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado: (a) , em .
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