Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado:
(b) em .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos principais:
1. O valor da função no ponto , que nos dá o ponto de tangência.
2. A derivada da função em , que nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto :
Então, o ponto de tangência é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A função é uma fração, então usaremos a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se , então
Passo 5
Identificando e , vamos calcular suas derivadas:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 7
Agora, calculamos a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 8
Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 9
Simplificando a equação para a forma :
Convertendo para vinte quintos:
Então:
Resposta
A equação da reta tangente à função no ponto é:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado:
(a) , em .
Determine em que pontos as funções a seguir são diferenciáveis:
(a) $f(x)= \begin{cases}x^{2}-x, & \text { se } x \leq 0, \ x^{3}-3 x & \text { se } 01\end{cases}$
Determine em que pontos as funções a seguir são diferenciáveis:
(b)