Determine em que pontos as funções a seguir são diferenciáveis:
(a) f(x) = { x^2 - x, se x <= 0, x^3 - 3x, se 0 < x <= 1, -2, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é diferenciável. A função é dividida em três partes, dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar cada parte da função e os pontos onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela for suave ali, ou seja, se a derivada existir naquele ponto. Isso significa que a função precisa ser contínua e que as derivadas pela esquerda e pela direita naquele ponto devem ser iguais.

Passo 3

Vamos analisar cada pedaço da função:
  1. Para :
    • A derivada dessa parte é
  2. Para :
    • A derivada dessa parte é
  3. Para :
    • A derivada dessa parte é (já que é uma constante)

Passo 4

Agora, vamos verificar os pontos onde a função muda de uma parte para outra, ou seja, em e .
No ponto :
  • Vamos ver se a função é contínua:
    • O limite pela direita, quando se aproxima de 0:
    • Como os valores coincidem, a função é contínua em 0.
  • Agora, vamos ver se as derivadas à esquerda e à direita são iguais:
    • Derivada pela esquerda:
    • Derivada pela direita:
    • Como , a função não é diferenciável em .
No ponto :
  • Verificando a continuidade:
    • pela segunda parte:
    • pela terceira parte:
    • A função é contínua em 1.
  • Verificando as derivadas:
    • Derivada pela esquerda:
    • Derivada pela direita:
    • Como as derivadas são iguais, a função é diferenciável em .

Passo 5

Finalmente, fora os pontos de mudança (0 e 1), cada parte da função é um polinômio ou uma constante, que são sempre diferenciáveis. Portanto, a única “pércia” está em .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos reais menos em .

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