Determine em que pontos as funções a seguir são diferenciáveis:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir em quais pontos a função é diferenciável. A função é dividida em três partes, dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar cada parte da função e os pontos onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é diferenciável em um ponto se ela for suave ali, ou seja, se a derivada existir naquele ponto. Isso significa que a função precisa ser contínua e que as derivadas pela esquerda e pela direita naquele ponto devem ser iguais.
Passo 3
Vamos analisar cada pedaço da função:
Para :
A derivada dessa parte é
Para :
A derivada dessa parte é
Para :
A derivada dessa parte é (já que é uma constante)
Passo 4
Agora, vamos verificar os pontos onde a função muda de uma parte para outra, ou seja, em e .
No ponto :
Vamos ver se a função é contínua:
O limite pela direita, quando se aproxima de 0:
Como os valores coincidem, a função é contínua em 0.
Agora, vamos ver se as derivadas à esquerda e à direita são iguais:
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Como , a função não é diferenciável em .
No ponto :
Verificando a continuidade:
pela segunda parte:
pela terceira parte:
A função é contínua em 1.
Verificando as derivadas:
Derivada pela esquerda:
Derivada pela direita:
Como as derivadas são iguais, a função é diferenciável em .
Passo 5
Finalmente, fora os pontos de mudança (0 e 1), cada parte da função é um polinômio ou uma constante, que são sempre diferenciáveis. Portanto, a única “pércia” está em .
Resposta
A função é diferenciável em todos os pontos reais menos em .