Determine em que pontos as funções a seguir são diferenciáveis:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. A função é definida em pedaços, ou seja, tem uma regra para
e outra para
. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e conferir se as duas partes da função se comportam bem no ponto onde mudam, que aqui é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada naquele ponto. Para funções definidas em pedaços, precisamos garantir que:
- A função seja contínua no ponto de junção.
- As derivadas das duas partes da função coincidam nesse ponto.
Vamos verificar essas duas condições para
em
.
Passo 3
Vamos conferir a continuidade em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Para
,
. Então,
.
Para
,
. O limite quando
se aproxima de 0 pela direita é
.
Como ambos os limites são iguais a 1 e
, a função é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar as derivadas das duas partes da função em
.
Primeiro, para
:
A derivada de é:
A derivada de
No ponto
:
Agora, para
:
A derivada de é:
A derivada de
No ponto
:
Passo 5
Comparando as derivadas das duas partes em
:
- A derivada pela esquerda é 0.
- A derivada pela direita é 1.
Como 0 não é igual a 1, as derivadas não coincidem em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos menos em
.