Determine em que pontos as funções a seguir são diferenciáveis:
(b) g(x) = { 1/(x^2 + 1) se x <= 0, e^x se x > 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função é diferenciável. A função é definida em pedaços, ou seja, tem uma regra para e outra para . Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e conferir se as duas partes da função se comportam bem no ponto onde mudam, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada naquele ponto. Para funções definidas em pedaços, precisamos garantir que:
  1. A função seja contínua no ponto de junção.
  2. As derivadas das duas partes da função coincidam nesse ponto.
Vamos verificar essas duas condições para em .

Passo 3

Vamos conferir a continuidade em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 0 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Para , . Então, .
Para , . O limite quando se aproxima de 0 pela direita é .
Como ambos os limites são iguais a 1 e , a função é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos verificar as derivadas das duas partes da função em .
Primeiro, para :

A derivada de é:
No ponto :
Agora, para :

A derivada de é:
No ponto :

Passo 5

Comparando as derivadas das duas partes em :
  • A derivada pela esquerda é 0.
  • A derivada pela direita é 1.
Como 0 não é igual a 1, as derivadas não coincidem em .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos menos em .

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