Se uma sequência infinita tal que . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que temos uma sequência infinita que converge para um limite quando vai para o infinito. A gente precisa mostrar que a soma infinita dos termos de até é igual a . Vamos precisar entender de séries e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa soma . Isso é uma série telescópica, que é um tipo especial de série onde muitos termos se cancelam quando a gente soma. Uma série telescópica simplifica muito porque a maioria dos termos intermediários desaparecem.

Passo 3

Vamos escrever a soma dos primeiros termos para ver esse cancelamento:
Observa que cancela com , com e assim por diante, até restar apenas .

Passo 4

Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos levar ao infinito:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto,

Exercícios relacionados

Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja a sequência de somas parciais de . Se é convergente, então .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de que passa pelo ponto de abscissa . Represente essa situação em um plano cartesiano.
Prove que:
(b)
(34)