Se
uma sequência infinita tal que
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que temos uma sequência infinita
que converge para um limite
quando
vai para o infinito. A gente precisa mostrar que a soma infinita dos termos
de
até
é igual a
. Vamos precisar entender de séries e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa soma
. Isso é uma série telescópica, que é um tipo especial de série onde muitos termos se cancelam quando a gente soma. Uma série telescópica simplifica muito porque a maioria dos termos intermediários desaparecem.
Passo 3
Vamos escrever a soma dos primeiros
termos para ver esse cancelamento:
Observa que
cancela com
,
com
e assim por diante, até restar apenas
.
Passo 4
Agora, para encontrar a soma da série infinita, vamos levar
ao infinito:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto,
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Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Seja a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.
( ) Seja
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
que passa pelo ponto de abscissa
. Represente essa situação em um plano cartesiano.
Prove que:
(b)
(b)
(34)