Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x² no ponto de abscissa 3. Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta que toca o gráfico da função $ f(x) = x^2 $ no ponto onde a abscissa (valor de $ x $) é 3. Isso envolve cálculo de derivadas para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto e depois usar essa inclinação para montar a equação da reta. Vamos precisar entender como derivar funções e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função $ f(x) = x^2 $. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto de $ x $. Usando a regra básica de derivação, sabemos que:
f(x) = x^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da derivada no ponto onde $ x = 3 $. Isso vai nos dar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
x = 3
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é 6.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o ponto exato no gráfico onde a reta tangente está. Isso significa achar o valor de $ y $ quando $ x = 3 $.
y
Então, o ponto de tangência é $ (3, 9) $.

Passo 5

Com a inclinação $ m = 6 $ e o ponto $ (3, 9) $, podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
m = 6
Substituindo os valores:
(3, 9)

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para a forma $ y = mx + b $:
y = mx + b
y - 9 = 6x - 18
y = 6x - 18 + 9

Passo 7

Por último, embora não possamos desenhar aqui, para esboçar o gráfico, você pode plotar a função $ f(x) = x^2 $ e a reta tangente $ y = 6x - 9 $ no ponto $ (3, 9) $. A reta deve tocar o gráfico da parábola exatamente nesse ponto e ter a mesma inclinação que a parábola naquele local.

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de $ f(x) = x^2 $ no ponto de abscissa 3 é:
f(x) = x^2

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