Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência que está no primeiro e segundo quadrante o centro da semicircunferência está na origem e raio é igual a 2. Utilizando a integral de linha, temos que a f(x,y) = x² + y² é igual a 1) 4 π massa desse arame, sabendo que a função densidade é
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção II está correta. II) 8 T III) 10 π IV) 16 m​

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre calcular a massa de um arame que tem a forma de uma semicircunferência com raio 2, centrada na origem e localizada nos primeiro e segundo quadrantes. A gente vai usar a integral de linha para achar essa massa, sabendo que a função densidade é $ f(x, y) = x^2 + y^2 $. Vamos precisar lembrar como parametrizar uma semicircunferência e como aplicar a integral de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semicircunferência. Como está no primeiro e segundo quadrante e tem raio 2, podemos usar o ângulo $ \theta $ variando de 0 a $ \pi $ (180 graus). A parametrização fica:
theta
pi
onde $ \theta $ vai de 0 a $ \pi $.

Passo 3

Agora, precisamos achar o elemento de comprimento $ ds $ para a integral. Sabemos que:
ds
Calculando as derivadas:
ds = raiz( dxdtheta )^2 + ( dydtheta )^2 dtheta
dxdtheta = -2 sin(theta)
Então:
dydtheta = 2 cos(theta)

Passo 4

Agora, vamos expressar a função densidade $ f(x, y) = x^2 + y^2 $ em termos de $ \theta $:
f(x, y) = x^2 + y^2
Então, a função densidade é constante e igual a 4 ao longo da semicircunferência.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral de linha para calcular a massa $ M $:
M
Resolvendo a integral:
M = integralC f(x, y) , ds = integral0^pi 4 times 2 , dtheta = integral0^pi 8 , dtheta

Resposta

A massa do arame é $ 8\pi $. Então, a opção II) está correta.

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