Dado um pilar de comprimento igual a 3m, seção 20x30cm, módulo de elasticidade igual a 20000kN/cm². Qual é a menor força de flambagem?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício que você me passou trata de flambagem, que é quando uma coluna (ou pilar) se deforma lateralmente sob uma carga compressiva. A gente vai calcular a menor força de flambagem para um pilar com as seguintes características:
  • Comprimento (L): 3 metros
  • Seção transversal: 20 cm x 30 cm
  • Módulo de elasticidade (E): 20000 kN/cm²
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Euler, que nos ajuda a encontrar a carga crítica de flambagem.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. Nosso comprimento está em metros, então vamos converter para centímetros:
L = 3 m = 300 cm

Passo 3

Agora, vamos identificar o momento de inércia (I) da seção transversal. Para uma seção retangular, o momento de inércia em relação ao eixo mais fraco (que vai governar a flambagem) é dado por:
I = b cdot h^312
Onde:
  • $ b $ é a largura (20 cm)
  • $ h $ é a altura (30 cm)
Vamos calcular:
b

Passo 4

A seguir, usamos a fórmula de Euler para encontrar a carga crítica $ P_{cr} $:
Pcr
Assumindo que o pilar está engastado nas duas extremidades (condição comum), o fator $ K $ é 1.
Substituindo os valores:
Pcr = pi^2 cdot E cdot I(K cdot L)^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos o denominador:
(1 cdot 300)^2 = 90000
Agora, substituímos na fórmula:
Pcr = 3,1416^2 cdot 20000 cdot 4500090000
Calculando $ \pi^2 $:
pi^2
Agora:
pi^2 approx 9,8696
Simplificando as multiplicações e divisões:
Pcr = 9,8696 cdot 20000 cdot 4500090000

Resposta

A menor força de flambagem para o pilar dado é aproximadamente 98.696 kN.

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