Encontre os intervalos de crescimento, os intervalos de decrescimento, os pontos de máximo e pontos de mínimo relativos da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de descobrir os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento dela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela cresce ou decresce.
Calculando cada termo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos ou mínimos da função.
Fatorando:
Então, temos:
Portanto, os pontos críticos são
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Dividindo a reta real nos intervalos:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e calculamos o sinal de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com base no sinal da derivada:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Então:
- Para
: → função decresce. - Para
: → função cresce. - Para
: → função decresce. - Para
: → função cresce.
Passo 6
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos.
- Em
:
A derivada muda de negativa para positiva → ponto de mínimo relativo.
- Em
:
A derivada muda de positiva para negativa → ponto de máximo relativo.
- Em
:
A derivada muda de negativa para positiva → ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os intervalos de crescimento são
e
.
Os intervalos de decrescimento são e
.
A função possui um ponto de mínimo relativo em e outro em
.
Há também um ponto de máximo relativo em .
Os intervalos de decrescimento são
A função possui um ponto de mínimo relativo em
Há também um ponto de máximo relativo em