Encontre os intervalos de crescimento, os intervalos de decrescimento, os pontos de máximo e pontos de mínimo relativos da seguinte função:
f(x) = x^4 - 2x^2 + 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, além de descobrir os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos usar a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento dela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela cresce ou decresce.
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser máximos ou mínimos da função.
Fatorando:
Então, temos:
Portanto, os pontos críticos são .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
Dividindo a reta real nos intervalos:
Escolhemos um valor de teste em cada intervalo e calculamos o sinal de :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Com base no sinal da derivada:
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Então:
  1. Para : → função decresce.
  2. Para : → função cresce.
  3. Para : → função decresce.
  4. Para : → função cresce.

Passo 6

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos.
  • Em :
A derivada muda de negativa para positiva → ponto de mínimo relativo.
  • Em :
A derivada muda de positiva para negativa → ponto de máximo relativo.
  • Em :
A derivada muda de negativa para positiva → ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os intervalos de crescimento são e .
Os intervalos de decrescimento são e .
A função possui um ponto de mínimo relativo em e outro em .
Há também um ponto de máximo relativo em .

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