Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = e^x e x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente no ponto para a função , onde . Isso envolve conceitos de cálculo, como derivadas e equações de retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto específico é a reta que “toca” a função nesse ponto e tem a mesma inclinação que a função naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos de dois elementos:
  1. As coordenadas do ponto de tangência .
  2. A inclinação da reta tangente, que é dada pela derivada da função no ponto .

Passo 3

Vamos começar encontrando o valor de . Sabemos que e .
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
No ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é 1.

Passo 5

Com o ponto de tangência e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a equação acima:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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f é derivável em 2? Justifique