Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = x + 4/x e x0 = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação da reta tangente no ponto (x0, f(x0)) onde e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas para achar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de , ou seja, f(4). Substituindo x por 4 na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função f(x) para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em um ponto específico. Vamos derivar :

Passo 4

Com a derivada em mãos, substituímos para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma mais comum, isolando y:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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f(x) = e^x e x0 = 0
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f(x) = x^2 + 3 e x0 = 1
Seja f(x) = { x + 1, se x < 2; 1, se x ≥ 2 }
f é derivável em 2? Justifique
Dê os domínios das funções f + g : f(x) = x e g(x) = x^2 - 1