Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a equação
representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for uma elipse, também precisamos encontrar seus principais elementos, como centro, eixos etc. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado e identificar os coeficientes dos termos quadráticos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
. Ficaria assim:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Para o
:
Factoramos o 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos metade do coeficiente de
, que é 10/2 = 5, e elevamos ao quadrado:
. Então, adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:
Passo 4
Fazemos o mesmo para o
. Primeiro, fatoramos o 9:
Completamos o quadrado: metade de 4 é 2, e
. Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:
Passo 5
Substituímos de volta na equação original:
Simplificamos:
Transferimos o -136 para o outro lado:
Passo 6
Dividimos tudo por 36 para padronizar a equação:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse:
Onde:
- Centro
é -
então -
então
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
, eixo maior de comprimento 6 (ao longo do eixo
) e eixo menor de comprimento 4 (ao longo do eixo
).