Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
a) 4 x^2+9 y^2-40 x+36 y+100=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a equação representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for uma elipse, também precisamos encontrar seus principais elementos, como centro, eixos etc. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado e identificar os coeficientes dos termos quadráticos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 4x^2 - 40x + 9y^2 + 36y = -100 e . Ficaria assim:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 - 10x) e de 4(x^2 - 10x + 25 - 25) = 4((x - 5)^2 - 25) = 4(x - 5)^2 - 100. Para o :
Factoramos o 4:
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. Pegamos metade do coeficiente de , que é 10/2 = 5, e elevamos ao quadrado: . Então, adicionamos e subtraímos 25 dentro do parêntese:

Passo 4

Fazemos o mesmo para o 9(y^2 + 4y). Primeiro, fatoramos o 9:
9(y^2 + 4y + 4 - 4) = 9((y + 2)^2 - 4) = 9(y + 2)^2 - 36
Completamos o quadrado: metade de 4 é 2, e . Adicionamos e subtraímos 4 dentro do parêntese:

Passo 5

Substituímos de volta na equação original:
4(x - 5)^2 - 100 + 9(y + 2)^2 - 36 = -100
Simplificamos:
4(x - 5)^2 + 9(y + 2)^2 - 136 = -100
Transferimos o -136 para o outro lado:
4(x - 5)^2 + 9(y + 2)^2 = 36

Passo 6

Dividimos tudo por 36 para padronizar a equação:
4(x - 5)^236 + 9(y + 2)^236 = 1
Simplificando as frações:
(x - 5)^29 + (y + 2)^24 = 1

Passo 7

Agora, a equação está na forma padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • Centro é
  • então
  • então

Resposta

A equação representa uma elipse com centro em , eixo maior de comprimento 6 (ao longo do eixo ) e eixo menor de comprimento 4 (ao longo do eixo ).

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