Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a equação
representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for uma elipse, vamos também encontrar seus principais elementos. Para isso, vamos precisar usar o método de completamento de quadrados e entender um pouco sobre as equações das conicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
Mas adicionamos 1 dentro dos parênteses, então precisamos ajustar:
Para
:
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
Adicionamos
dentro dos parênteses, então ajustamos:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Agora, somamos as constantes:
Então:
Passo 5
Dividimos ambos os lados da equação por
para obter a forma padrão:
Simplificando:
Isso indica que os coeficientes dos quadrados são negativos, o que não é possível para uma elipse real.
Resposta
A equação
representa uma elipse degenerada, ou seja, uma elipse que não possui forma geométrica real no plano.