Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse degenerada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
b) 9 x^2+4 y^2+18 x-9 y+25=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a equação representa uma elipse ou uma elipse degenerada. Se for uma elipse, vamos também encontrar seus principais elementos. Para isso, vamos precisar usar o método de completamento de quadrados e entender um pouco sobre as equações das conicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de 9x^2 + 18x + 4y^2 - 9y = -25 e de :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 9x^2 + 18x = 9(x^2 + 2x) e de x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 .
Para 9(x^2 + 2x + 1) - 9 = 9(x + 1)^2 - 9 :
4y^2 - 9y = 4(y^2 - 94y)
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
y^2 - 94y + (98)^2 = (y - 98)^2
Mas adicionamos 1 dentro dos parênteses, então precisamos ajustar:
4(y^2 - 94y + 8164) - 4 times 8164 = 4(y - 98)^2 - 8116
Para :
Completa o quadrado dentro dos parênteses:
Adicionamos dentro dos parênteses, então ajustamos:

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
9(x + 1)^2 - 9 + 4(y - 98)^2 - 8116 = -25
Agora, somamos as constantes:
-9 - 8116 = -14416 - 8116 = -22516
Então:
9(x + 1)^2 + 4(y - 98)^2 = -25 + 22516 = -40016 + 22516 = -17516

Passo 5

Dividimos ambos os lados da equação por 9(x + 1)^2-17516 + 4(y - 98)^2-17516 = 1 para obter a forma padrão:
-144175(x + 1)^2 - 64175(y - 98)^2 = 1
Simplificando:
Isso indica que os coeficientes dos quadrados são negativos, o que não é possível para uma elipse real.

Resposta

A equação representa uma elipse degenerada, ou seja, uma elipse que não possui forma geométrica real no plano.

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