Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado. em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto especificado. A função que estamos trabalhando é e o ponto de interesse é . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, avaliar essas derivadas no ponto dado e usar essas informações para montar o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto no gráfico é .
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
Derivada parcial em relação a , denotada por :
Derivada parcial em relação a , denotada por :
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Avaliação de :
Avaliação de :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde é o ponto dado, que no nosso caso é . Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e , ou seja, . No nosso caso:
Passo 7
A reta normal pode ser expressa em forma paramétrica usando o ponto e o vetor normal . As equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.
Resposta
A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é: