Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto dado.
em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada no ponto especificado. A função que estamos trabalhando é e o ponto de interesse é . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, avaliar essas derivadas no ponto dado e usar essas informações para montar o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto no gráfico é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .
  • Derivada parcial em relação a , denotada por :
  • Derivada parcial em relação a , denotada por :

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • Avaliação de :
  • Avaliação de :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde é o ponto dado, que no nosso caso é . Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 6

Para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais e , ou seja, . No nosso caso:

Passo 7

A reta normal pode ser expressa em forma paramétrica usando o ponto e o vetor normal . As equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.

Resposta

A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto é:
E as equações paramétricas da reta normal são:

Exercícios relacionados

(d)
Escreva:
b) como uma potência de 8 .
Simplifique as expressões a seguir:
b)
Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
a) Do eixo