Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
a) Do eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o volume de um sólido que surge quando a região R, que é limitada pela reta e pela parábola , é girada ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a reta e a parábola se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as soluções são e . Isso significa que as curvas se interceptam nesses pontos.
Passo 3
Agora, vamos entender qual curva está por cima da outra entre e . Vamos testar um valor, por exemplo, :
Vemos que está acima de nesse intervalo.
Passo 4
Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação ao redor do eixo , usamos o método dos discos. A fórmula geral é:
Aqui, é a função que está por cima e a que está embaixo. No nosso caso, e , com e .
Passo 5
Vamos configurar a integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então,
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.