Determine as equações dos planos tangente e normal ao gráfico das equações a seguir em cada ponto indicado:
a) 4 x^2 - y^2 + 3 z^2 = 10 ; P(2, -3, 1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações dos planos tangente e normal ao gráfico da equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial, especificamente o vetor gradiente, que nos ajuda a determinar planos tangentes a superfícies.

Passo 2

Para achar o plano tangente, começamos calculando o vetor gradiente da função . O vetor gradiente é dado pelas derivadas parciais de em relação a , e :
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, avaliamos o vetor gradiente no ponto :
Esse vetor é normal ao plano tangente no ponto .

Passo 4

Com o vetor normal, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar ainda mais:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a linha normal à superfície no ponto . A linha normal é a direção do vetor gradiente e passa por , podendo ser descrita pelas equações paramétricas:
onde é um parâmetro real.

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
A linha normal à superfície no mesmo ponto é descrita pelas equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Seja f uma função diferenciável (de duas variáveis) tais que grad f(X) = c X para alguma constante c e todo X no espaço bidimensional. Mostre que em qualquer circunferência de raio a > 0, centrada na origem. (Sugestão: ponha x = a * cost ; y = a sent e calcule d f / d t )
Determine o gradiente de f no ponto P :
a) f(x, y) = x cos^2(y); P(2, pi/4)
(b) encontre a soma da série e a escreva como o quociente de dois inteiros.
( ) Se sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn são divergentes, então sumn=1^+infty(an bn) é divergente.