Determine o gradiente de f no ponto P :
a) f(x, y) = x cos^2(y); P(2, pi/4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . O gradiente é um conceito da matemática que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, como , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais da função em relação a e . Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto . Primeiro, vamos calcular em :
Agora, em :

Resposta

O gradiente de no ponto é .

Exercícios relacionados

A pressão p, o volume V e a temperatura T de um gás confinado relacionam-se pela equação p V = c T, onde c é uma constante. Se as taxas de variação de p e V são d p / d t e dV/dt, respectivamente, utilize a regra da cadeia para estabelecer uma fórmula para dT/dt. Verifique seu resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável.
Em cada exercício a seguir determine as derivadas parciais em relação a x e a y, admitindo que z = f(x, y) :
a) 2*x*z^3 - 3*y*z^2 + x^2*y^2 + 4*z = 0
Seja f uma função diferenciável (de duas variáveis) tais que grad f(X) = c X para alguma constante c e todo X no espaço bidimensional. Mostre que em qualquer circunferência de raio a > 0, centrada na origem. (Sugestão: ponha x = a * cost ; y = a sent e calcule d f / d t )
Determine as equações dos planos tangente e normal ao gráfico das equações a seguir em cada ponto indicado:
a) 4 x^2 - y^2 + 3 z^2 = 10 ; P(2, -3, 1)