Seja
uma função diferenciável (de duas variáveis) tais que
para alguma constante
e todo
no espaço bidimensional. Mostre que em qualquer circunferência de raio
, centrada na origem. (Sugestão: ponha
sent e calcule
)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de duas variáveis e que é diferenciável. A condição dada é que o gradiente de
, ou seja,
, é igual a uma constante
multiplicada pelo vetor
em todo o espaço bidimensional. O objetivo é mostrar que, em qualquer circunferência de raio
centrada na origem, a função
se comporta de uma certa maneira específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e derivadas parametrizadas. Vamos seguir o caminho sugerido: parametrizar a circunferência e calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência de raio
centrada na origem usando a variável
. Usamos:
Aqui,
varia de
a
para percorrer toda a circunferência. Essa parametrização nos permite descrever qualquer ponto da circunferência em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a função
ao longo da circunferência parametrizada. Ou seja,
será uma função de
:
Para entender como
muda ao longo da circunferência, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, isto é,
.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia para derivadas. A derivada de
em relação a
é dada por:
Sabemos que
e
. Além disso, pelo enunciado,
, ou seja:
Passo 5
Substituindo essas expressões na derivada de
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a derivada de
em relação a
é zero em toda a circunferência. Isso significa que
é constante em qualquer circunferência de raio
centrada na origem.
Exercícios relacionados
Determine o gradiente de
no ponto
:
a)
a)
A pressão
, o volume
e a temperatura
de um gás confinado relacionam-se pela equação
, onde
é uma constante. Se as taxas de variação de
e
são
e
, respectivamente, utilize a regra da cadeia para estabelecer uma fórmula para
. Verifique seu resultado aplicando a regra do produto para funções de uma variável.
Determine as equações dos planos tangente e normal ao gráfico das equações a seguir em cada ponto indicado:
a)
a)
(b) encontre a soma da série e a escreva como o quociente de dois inteiros.