Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangentes e normais à curva
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar as inclinações das retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
, que nos dará a coordenada
do ponto onde as retas tangente e normal vão passar.
Calculando:
Então, temos o ponto
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de
em relação a
é calculada usando a regra da cadeia.
Derivada de
:
Portanto,
Passo 4
Agora, avaliamos a derivada no ponto
para obter a inclinação da reta tangente no ponto de interesse.
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Então, se a inclinação da reta tangente é
, a inclinação da reta normal será:
Usando novamente a fórmula da equação da reta:
Simplificando:
Resposta
A equação da reta tangente à curva em
é
, e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde:
Se
e
são funções diferenciáveis tais que
e
, determine o valor de
se:
Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
;
Mostre que a equação
tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.