Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas: f(x) = e^(-1/x) ; x = 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangentes e normais à curva no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar as inclinações das retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de , que nos dará a coordenada do ponto onde as retas tangente e normal vão passar.
Calculando:
Então, temos o ponto .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de em relação a é calculada usando a regra da cadeia.
Derivada de :
Portanto,

Passo 4

Agora, avaliamos a derivada no ponto para obter a inclinação da reta tangente no ponto de interesse.
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Então, se a inclinação da reta tangente é , a inclinação da reta normal será:
Usando novamente a fórmula da equação da reta:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente à curva em é , e a equação da reta normal é .

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