Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas: f(x)=cos(x/2) ; x=0;

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal à curva dada por no ponto onde . Vamos usar cálculo diferencial aqui, especificamente derivadas, para achar a inclinação dessas retas. Precisaremos calcular para achar o ponto na curva e para descobrir a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Basta substituir na função:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de para saber a inclinação da reta tangente. A derivada de em relação a é . Aqui, , então:

Passo 4

Vamos avaliar a derivada no ponto para achar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 0, o que significa que ela é uma reta horizontal.

Passo 5

Com a inclinação da tangente ( ) e o ponto , usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos achar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, e a inclinação delas satisfaz . Mas aqui, , então a reta normal terá eine inclinação infinita, ou seja, é uma reta vertical.

Passo 7

A reta normal é vertical e passa pelo ponto . A equação de uma reta vertical que passa por é simplesmente . Então:

Resposta

A equação da reta tangente é e a da reta normal é .

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Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas: f(x) = e^(-1/x) ; x = 1
Calcule y' = dy/dx, onde: y = raiz(cubica(x)) + x^3
Mostre que a equação x^2 - x sen(x) - cos(x) = 0 tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.
Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas: f(x) = ln(x^2 + 1) ; x = 1.