Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
;
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar as equações das retas tangente e normal à curva dada por
no ponto onde
. Vamos usar cálculo diferencial aqui, especificamente derivadas, para achar a inclinação dessas retas. Precisaremos calcular
para achar o ponto na curva e
para descobrir a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando
. Basta substituir na função:
Então, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
para saber a inclinação da reta tangente. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então:
Passo 4
Vamos avaliar a derivada no ponto
para achar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é 0, o que significa que ela é uma reta horizontal.
Passo 5
Com a inclinação da tangente (
) e o ponto
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos achar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, e a inclinação delas satisfaz
. Mas aqui,
, então a reta normal terá eine inclinação infinita, ou seja, é uma reta vertical.
Passo 7
A reta normal é vertical e passa pelo ponto
. A equação de uma reta vertical que passa por
é simplesmente
. Então:
Resposta
A equação da reta tangente é
e a da reta normal é
.
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Calcule
, onde:
Mostre que a equação
tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.
Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
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