Determine e esboce em um gráfico o domínio de função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
. Isso significa descobrir para quais valores de
e
essa função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções multivariadas e condições de existência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Aqui, temos duas coisas importantes:
- Divisão por
: O denominador não pode ser zero, ou seja, . - Raiz quadrada de
: A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, então .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo termo
. Para essa raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela também precisa ser não negativo:
Isso pode ser rearranjado para:
Passo 4
Então, para resumir as condições que encontramos:
-
(para evitar divisão por zero) -
(para a primeira raiz quadrada) -
(para a segunda raiz quadrada)
Passo 5
Agora, vamos entender como essas condições se combinam. A condição
já estabelece que
é pelo menos zero. A segunda condição
nos diz que
também deve ser maior ou igual a
. Dependendo dos valores de
, essa segunda condição pode ser mais restritiva ou não.
Passo 6
Vamos visualizar isso no gráfico:
- A reta
divide o plano em duas partes. - A parábola
abre para cima e está deslocada 3 unidades para baixo. - A interseção dessas duas condições significa que
deve estar acima de ambas as curvas.
Passo 7
Além disso, temos que
, então vamos excluir todo o eixo
do nosso domínio.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
onde:
Em outras palavras,
.