Determine e esboce em um gráfico o domínio de função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir para quais valores de e essa função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções multivariadas e condições de existência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo . Aqui, temos duas coisas importantes:
  1. Divisão por : O denominador não pode ser zero, ou seja, .
  2. Raiz quadrada de : A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, então .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo termo . Para essa raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela também precisa ser não negativo:
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 4

Então, para resumir as condições que encontramos:
  1. (para evitar divisão por zero)
  2. (para a primeira raiz quadrada)
  3. (para a segunda raiz quadrada)

Passo 5

Agora, vamos entender como essas condições se combinam. A condição já estabelece que é pelo menos zero. A segunda condição nos diz que também deve ser maior ou igual a . Dependendo dos valores de , essa segunda condição pode ser mais restritiva ou não.

Passo 6

Vamos visualizar isso no gráfico:
  • A reta divide o plano em duas partes.
  • A parábola abre para cima e está deslocada 3 unidades para baixo.
  • A interseção dessas duas condições significa que deve estar acima de ambas as curvas.

Passo 7

Além disso, temos que , então vamos excluir todo o eixo do nosso domínio.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde:
Em outras palavras, .

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