Determine e esboce em um gráfico o domínio de função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir para quais valores de e essa função está bem definida. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções multivariadas e condições de existência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo . Aqui, temos duas coisas importantes:
Divisão por : O denominador não pode ser zero, ou seja, .
Raiz quadrada de : A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, então .
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo termo . Para essa raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela também precisa ser não negativo:
Isso pode ser rearranjado para:
Passo 4
Então, para resumir as condições que encontramos:
(para evitar divisão por zero)
(para a primeira raiz quadrada)
(para a segunda raiz quadrada)
Passo 5
Agora, vamos entender como essas condições se combinam. A condição já estabelece que é pelo menos zero. A segunda condição nos diz que também deve ser maior ou igual a . Dependendo dos valores de , essa segunda condição pode ser mais restritiva ou não.
Passo 6
Vamos visualizar isso no gráfico:
A reta divide o plano em duas partes.
A parábola abre para cima e está deslocada 3 unidades para baixo.
A interseção dessas duas condições significa que deve estar acima de ambas as curvas.
Passo 7
Além disso, temos que , então vamos excluir todo o eixo do nosso domínio.
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde: