Em certa região montanhosa, a altura de um ponto de coordenadas (
) é dada por
. Faça o cálculo e o esboço de 2 curvas de nível relacionadas à função
, com valores de
a sua escolha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma região montanhosa onde a altura de um ponto com coordenadas
é dada por
. Nosso objetivo aqui é calcular e esboçar duas curvas de nível dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre curvas de nível e equações de elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível de uma função representam todos os pontos
onde a função assume o mesmo valor constante
. Ou seja, para a nossa função
, a curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos que satisfazem
.
Passo 3
Vamos montar a equação da curva de nível. Partindo da função dada:
Definimos a curva de nível para um valor
:
Passo 4
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando a equação:
Passo 5
Essa equação representa uma elipse, desde que
. Então, precisamos escolher valores de
que satisfaçam essa condição. Vamos escolher
e
para facilitar os cálculos.
Passo 6
Para
:
Essa é a equação da primeira curva de nível.
Para
:
Essa é a equação da segunda curva de nível.
Passo 7
Agora, vamos esboçar essas elipses. A equação geral de uma elipse é:
Comparando com nossas equações:
-
Para
: Aqui,e . -
Para
: Aqui,e .
Resposta
As duas curvas de nível da função
são elipses dadas por:
-
Para
: -
Para
:
Essas elipses representam diferentes altitudes na região montanhosa descrita.
Exercícios relacionados
Verifique a inexistência ou prove a existência do
.
Determine e esboce em um gráfico o domínio de função
.
Suponha
uma função diferenciável de
e y e
. Use a tabela abaixo para calcular
.
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|
|
|
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---|---|---|---|---|
|
3 | 6 | 4 | 8 |
|
6 | 3 | -1 | 1 |
Determine uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
e utilize a função de linearização para aproximar
.