Em certa região montanhosa, a altura de um ponto de coordenadas ( x, y ) é dada por h(x, y) = raiz(9 - x^2 - 3y^2). Faça o cálculo e o esboço de 2 curvas de nível relacionadas à função h, com valores de k a sua escolha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma região montanhosa onde a altura de um ponto com coordenadas (x, y) é dada por . Nosso objetivo aqui é calcular e esboçar duas curvas de nível dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre curvas de nível e equações de elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível de uma função representam todos os pontos (x, y) onde a função assume o mesmo valor constante k. Ou seja, para a nossa função h(x, y), a curva de nível para um valor k é o conjunto de pontos que satisfazem .

Passo 3

Vamos montar a equação da curva de nível. Partindo da função dada:
Definimos a curva de nível para um valor k:

Passo 4

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando a equação:

Passo 5

Essa equação representa uma elipse, desde que . Então, precisamos escolher valores de k que satisfaçam essa condição. Vamos escolher e para facilitar os cálculos.

Passo 6

Para :
Essa é a equação da primeira curva de nível.
Para :
Essa é a equação da segunda curva de nível.

Passo 7

Agora, vamos esboçar essas elipses. A equação geral de uma elipse é:
Comparando com nossas equações:
  • Para :
    Aqui, e .
  • Para :
    Aqui, e .

Resposta

As duas curvas de nível da função são elipses dadas por:
  1. Para :
  2. Para :
Essas elipses representam diferentes altitudes na região montanhosa descrita.

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