Verifique a inexistência ou prove a existência do lim (x, y) (0,0) f(x, y)=3 x^4-y^2x^4+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o limite da função existe quando o ponto se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caminho onde f(x, 0) = 3x^4 - 0^2x^4 + 0^2 = 3x^4x^4 = 3 . Substituindo por 0 na função, temos:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite da função é 3.

Passo 3

Agora, vamos considerar o caminho onde f(0, y) = 3 cdot 0^4 - y^20^4 + y^2 = - y^2y^2 = -1 . Substituindo por 0 na função, temos:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite da função é -1.

Passo 4

Já vimos que dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de , o limite da função muda (3 pelo eixo e -1 pelo eixo ). Isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

Como o limite da função depende do caminho escolhido para se aproximar de e obtenhamos resultados diferentes (3 e -1), concluímos que o limite não existe.

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