Determine e esboce os traços da superfície S nos planos x = k, k pertence a R, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície chamada e precisa determinar e esboçar os traços dessa superfície nos planos definidos por , onde é um número real qualquer. Isso tudo está dentro do conteúdo de geometria analítica, especificamente estudando superfícies e seus traços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são traços de uma superfície e como encontrá-los em planos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um traço de uma superfície. Imagine que você tem uma superfície no espaço tridimensional. Quando você a “corta” com um plano específico, como , a interseção entre essa superfície e o plano é o que chamamos de traço da superfície nesse plano. Esse traço é uma curva que está completamente contida tanto na superfície quanto no plano .

Passo 3

Para encontrar o traço da superfície no plano , vamos substituir por na equação da superfície . Isso significa que vamos “fixar” o valor de e ver como e se comportam nessa condição. O resultado será uma equação que relaciona apenas e , descrevendo a curva que é o traço da superfície no plano .

Passo 4

Vamos supor que a equação da superfície seja conhecida. Por exemplo, digamos que seja definida por uma equação geral como . Substituindo nessa equação, obtemos . Essa nova equação envolve apenas e e descreve a forma do traço no plano .

Passo 5

Depois de encontrar a equação , podemos simplificá-la para obter uma equação explícita de em função de ou vice-versa, dependendo do que a equação permitir. Essa expressão vai nos ajudar a esboçar o traço no plano , desenhando a curva correspondente.

Passo 6

Vamos ilustrar com um exemplo simples. Imagine que a superfície seja um cilindro definido por , onde é o raio. Para encontrar o traço no plano , substituímos por :
Isso simplifica para:

Passo 7

A equação nos diz que, para cada valor de tal que , o traço no plano é uma reta horizontal no eixo . Se , não existe traço porque a equação não tem solução real.

Passo 8

Finalmente, para esboçar o traço, desenhamos uma linha horizontal no plano que vai de até . Isso representa a seção circular do cilindro naquele plano específico.

Resposta

Os traços da superfície nos planos são retas horizontais no eixo para cada tal que . Se , não existem traços. O esboço consiste em linhas horizontais limitadas pelos valores de definidos pela equação .

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