Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma superfície chamada
e precisa determinar e esboçar os traços dessa superfície nos planos definidos por
, onde
é um número real qualquer. Isso tudo está dentro do conteúdo de geometria analítica, especificamente estudando superfícies e seus traços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são traços de uma superfície e como encontrá-los em planos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um traço de uma superfície. Imagine que você tem uma superfície
no espaço tridimensional. Quando você a “corta” com um plano específico, como
, a interseção entre essa superfície e o plano é o que chamamos de traço da superfície nesse plano. Esse traço é uma curva que está completamente contida tanto na superfície
quanto no plano
.
Passo 3
Para encontrar o traço da superfície
no plano
, vamos substituir
por
na equação da superfície
. Isso significa que vamos “fixar” o valor de
e ver como
e
se comportam nessa condição. O resultado será uma equação que relaciona apenas
e
, descrevendo a curva que é o traço da superfície no plano
.
Passo 4
Vamos supor que a equação da superfície
seja conhecida. Por exemplo, digamos que
seja definida por uma equação geral como
. Substituindo
nessa equação, obtemos
. Essa nova equação envolve apenas
e
e descreve a forma do traço no plano
.
Passo 5
Depois de encontrar a equação
, podemos simplificá-la para obter uma equação explícita de
em função de
ou vice-versa, dependendo do que a equação permitir. Essa expressão vai nos ajudar a esboçar o traço no plano
, desenhando a curva correspondente.
Passo 6
Vamos ilustrar com um exemplo simples. Imagine que a superfície
seja um cilindro definido por
, onde
é o raio. Para encontrar o traço no plano
, substituímos
por
:
Isso simplifica para:
Passo 7
A equação
nos diz que, para cada valor de
tal que
, o traço no plano
é uma reta horizontal no eixo
. Se
, não existe traço porque a equação não tem solução real.
Passo 8
Finalmente, para esboçar o traço, desenhamos uma linha horizontal no plano
que vai de
até
. Isso representa a seção circular do cilindro naquele plano específico.
Resposta
Os traços da superfície
nos planos
são retas horizontais no eixo
para cada
tal que
. Se
, não existem traços. O esboço consiste em linhas horizontais limitadas pelos valores de
definidos pela equação
.