Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e determine o valor da área: x + y = 3, y + x^2 = 3.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente desenhar a região que fica entre os gráficos das equações e e descobrir qual é a área dessa região. Vamos usar um pouco de álgebra pra achar onde essas curvas se encontram e depois cálculo pra descobrir a área.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos onde as duas equações se cruzam. Isso vai nos ajudar a saber entre quais valores de devemos calcular a área.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Fatorando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a esses valores de :
  • Para :
  • Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Vamos ver qual das duas curvas está acima da outra entre e . Pegando, por exemplo, :
  • Para a linha :
  • Para a parábola :
Isso mostra que a parábola está acima da linha nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores:

Passo 7

Calculando a integral:

Resposta

A área delimitada pelas curvas é unidades de área.

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