Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e determine o valor da área:
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente desenhar a região que fica entre os gráficos das equações
e
e descobrir qual é a área dessa região. Vamos usar um pouco de álgebra pra achar onde essas curvas se encontram e depois cálculo pra descobrir a área.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos onde as duas equações se cruzam. Isso vai nos ajudar a saber entre quais valores de
devemos calcular a área.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Fatorando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes a esses valores de
:
-
Para
: -
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Vamos ver qual das duas curvas está acima da outra entre
e
. Pegando, por exemplo,
:
-
Para a linha
: -
Para a parábola
:
Isso mostra que a parábola está acima da linha nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as curvas é dada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores:
Passo 7
Calculando a integral:
Resposta
A área delimitada pelas curvas é
unidades de área.