A taxa de depreciação de certa peça de equipamento, no intervalo de tempo [0,3], pode ser aproximada por g(t) = 1 - t^2/9 com t dado em anos e g(t) em \$. Determine a depreciação total ao fim dos seguintes períodos: (a) 6 meses; (b) 1 ano; © 18 meses; (d) 2 anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a taxa de depreciação de uma peça de equipamento ao longo do tempo. A função que representa essa taxa é , onde é o tempo em anos e está em centenas de dólares ($100,00). Nosso objetivo é calcular a depreciação total após diferentes períodos: 6 meses, 1 ano, 18 meses e 2 anos. Para isso, vamos precisar entender como integrar a taxa de depreciação ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a depreciação total em um determinado período pode ser encontrada integrando a taxa de depreciação nesse intervalo. A integral de de a nos dá a depreciação total entre os tempos e .
A fórmula geral para a depreciação total é:

Passo 3

Vamos resolver cada parte do exercício separadamente começando com a parte (a): 6 meses. Como o tempo está em anos, 6 meses correspondem a anos.
Então, precisamos calcular:

Passo 4

Vamos integrar a função :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 0,5 anos:

Passo 6

Calculando a expressão:
Como está em $100,00, a depreciação total é:

Resposta

A depreciação total após 6 meses é aproximadamente $49,54.

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