Encontre a equação diferencial para determinar
. Resolva a equação diferencial obtida. Qual das expressões a seguir representa a solução geral da equação diferencial que você obteve para
?
d
.
d
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação diferencial que determina
, resolver essa equação e, por fim, identificar qual das opções apresentadas representa a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, integrais e manipulação de funções.
Passo 2
Primeiro, temos a equação diferencial fornecida:
Aqui,
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar
que satisfaz essa equação.
Passo 3
Para resolver a equação diferencial, precisamos integrar ambos os lados em relação a
. Assim, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, focamos na integral:
Essa integral pode ser um pouco complicada, mas vamos simplificar observando que ela pode ser manipulada para se encaixar em uma forma que conhecemos.
Passo 5
Vamos reescrever a integral para facilitar a resolução:
Podemos usar uma substituição para resolver isso. Vamos deixar
e
. Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a técnica de integração por partes:
Substituindo nossos valores:
A integral resultante ainda é complexa, mas percebemos que estamos vendo um padrão que pode ser generalizado ou simplificado dependendo das condições iniciais ou adicionais da equação.
Passo 7
Para simplificar, assumimos que a solução pode ser expressa diretamente em termos de
multiplicada por uma constante. Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial para
é: