Determine o escalar alpha para que o vetor v=(0,3 alpha, 4 alpha) seja unitário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor do escalar alpha para que o vetor v = (0, 3alpha, 4alpha) seja unitário.
Conteúdo da matéria: Vetores unitários e magnitude de vetores.
O que vamos precisar:
  • Saber calcular a magnitude (ou comprimento) de um vetor.
  • Entender o que significa um vetor ser unitário.

Passo 2

Vamos relembrar o que significa um vetor ser unitário. Um vetor unitário é aquele que tem magnitude igual a 1. Ou seja, se calcularmos o comprimento do vetor, deve ser igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude do vetor v. A fórmula para a magnitude de um vetor v = (v1, v2, v3) é:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz0^2 + (3alpha)^2 + (4alpha)^2 = raiz0 + 9alpha^2 + 16alpha^2 = raiz25alpha^2

Passo 4

Simplificando a expressão:
raiz25alpha^2 = 5|alpha|
Como queremos que a magnitude seja 1:
5|alpha| = 1

Passo 5

Resolvendo para alpha:
|alpha| = 15
Isso significa que:
alpha = 15 ou alpha = -15

Resposta

O escalar alpha pode ser 15 ou -15 para que o vetor v seja unitário.

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