Determine a solução da equação exata
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial exata
. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos identificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar a função que a satisfaz. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na equação. Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Isso significa calcular:
Vamos fazer isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a integração em relação a
pode ter uma constante que depende de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à função
:
Sabemos que
, então:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na função
:
Para a solução geral da equação diferencial, definimos
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Dado o vetor
, determinar o vetor paralelo a
que tenha: sentido contrário ao de
e cinco vezes o módulo de
;
Verifique se a equação
é exata, onde
e
. Resolva a equação.
Determine o escalar
para que o vetor
seja unitário.
Determine um fator integrante e resolva a equação
.