Determine a solução da equação exata (e^x+y) d x+(x+e^y) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial exata . Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos identificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar a função que a satisfaz. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar M(x, y) = e^x + y e N(x, y) = x + e^y na equação. Aqui, temos:
partial Mpartial y
partial Npartial x
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Isso significa calcular:
Vamos fazer isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y (e^x + y) = 0 + 1 = 1
partial Npartial x = partialpartial x (x + e^y) = 1 + 0 = 1
Como , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função dF = M dx + N dy tal que:
F(x, y) = integral (e^x + y) dx = e^x + yx + g(y)
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece porque a integração em relação a pode ter uma constante que depende de .

Passo 5

Agora, derivamos partial Fpartial y = partialpartial y (e^x + yx + g(y)) = x + g'(y) em relação a x + g'(y) = x + e^y e igualamos à função g'(y) = e^y :
g(y) = integral e^y dy = e^y + C
Sabemos que , então:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo F(x, y) = e^x + yx + e^y + C de volta na função e^x + yx + e^y = C :
Para a solução geral da equação diferencial, definimos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
e^x + yx + e^y = C
Onde é uma constante.

Exercícios relacionados