Determine a solução da equação exata .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a equação diferencial exata . Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas. Precisamos identificar se a equação é realmente exata e, se for, encontrar a função que a satisfaz. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na equação. Aqui, temos:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Isso significa calcular:
Vamos fazer isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:
Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece porque a integração em relação a pode ter uma constante que depende de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos à função :
Sabemos que , então:
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo de volta na função :
Para a solução geral da equação diferencial, definimos :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante.

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