Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o limite é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender de limites e de como funcionam as funções absolutas. Vamos resolver passo a passo para ficar tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na expressão, mas antes disso, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador.
Numerador:
Substituindo :
Denominador:
Substituindo :
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de mais informações para calcular o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma técnica comum é simplificar a expressão ou usar a regra de L’Hôpital. Vamos tentar simplificar a expressão primeiro.
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador: já está fatorado.
Denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração:
Sabemos que porque o quadrado de qualquer número é positivo. Então:
Agora, percebemos que é igual a , que é 1 se e -1 se .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de perto de :
  • Se se aproxima de pela direita ( ), então , então .
  • Se se aproxima de pela esquerda ( ), então , então .
Então, o limite à direita e à esquerda podem ser diferentes, o que significa que o limite geral pode não existir ou ser diferente do valor proposto.

Passo 6

Vamos calcular os limites laterais:
Limite pela direita ( ):
Substituindo :
Limite pela esquerda ( ):
Substituindo :

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite geral não existe ou não é igual a 1.

Resposta

Falso. O limite não é igual a 1 porque os limites laterais são 4 e -4, respectivamente, que são diferentes.

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Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.

é contínua em todos os pontos.
Calcule os seguintes limites:
(a)