Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) lim x 12 2 x-1|2 x^3-x^2|=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o limite é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender de limites e de como funcionam as funções absolutas. Vamos resolver passo a passo para ficar tranquilo!

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2 times 12 - 1 = 1 - 1 = 0 por 2 times (12)^3 - (12)^2 = 2 times 18 - 14 = 14 - 14 = 0 na expressão, mas antes disso, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador.
Numerador:
Substituindo :
Denominador:
Substituindo :
Então, temos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de mais informações para calcular o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como 2x -1|x^2(2x -1)|, uma técnica comum é simplificar a expressão ou usar a regra de L’Hôpital. Vamos tentar simplificar a expressão primeiro.
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador: já está fatorado.
Denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração:
2x -1|x^2(2x -1)| = 2x -1|x^2| cdot |2x -1|
Sabemos que 2x -1x^2 cdot |2x -1| porque o quadrado de qualquer número é positivo. Então:
Agora, percebemos que é igual a , que é 1 se e -1 se .

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de perto de :
  • Se se aproxima de pela direita ( ), então , então .
  • Se se aproxima de pela esquerda ( ), então , então .
Então, o limite à direita e à esquerda podem ser diferentes, o que significa que o limite geral pode não existir ou ser diferente do valor proposto.

Passo 6

Vamos calcular os limites laterais:
Limite pela direita ( 2x -1x^2 cdot (2x -1) = 1x^2):
1(12)^2 = 114 = 4
Substituindo 2x -1x^2 cdot (-)(2x -1) = -1x^2:
-1(12)^2 = -114 = -4
Limite pela esquerda ( ):
Substituindo :

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite geral não existe ou não é igual a 1.

Resposta

Falso. O limite não é igual a 1 porque os limites laterais são 4 e -4, respectivamente, que são diferentes.

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