Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( )
.
(a) ( )
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o limite
é igual a 1. Para isso, vamos precisar entender de limites e de como funcionam as funções absolutas. Vamos resolver passo a passo para ficar tranquilo!
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na expressão, mas antes disso, vamos entender o que acontece com o numerador e o denominador.
Numerador:
Substituindo
:
Denominador:
Substituindo
:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de mais informações para calcular o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica comum é simplificar a expressão ou usar a regra de L’Hôpital. Vamos tentar simplificar a expressão primeiro.
Vamos fatorar o numerador e o denominador:
Numerador:
já está fatorado.
Denominador:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração:
Sabemos que
porque o quadrado de qualquer número é positivo. Então:
Agora, percebemos que
é igual a
, que é 1 se
e -1 se
.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de
perto de
:
- Se
se aproxima de pela direita ( ), então , então . - Se
se aproxima de pela esquerda ( ), então , então .
Então, o limite à direita e à esquerda podem ser diferentes, o que significa que o limite geral pode não existir ou ser diferente do valor proposto.
Passo 6
Vamos calcular os limites laterais:
Limite pela direita (
):
Substituindo
:
Limite pela esquerda (
):
Substituindo
:
Passo 7
Como os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda), o limite geral não existe ou não é igual a 1.
Resposta
Falso. O limite
não é igual a 1 porque os limites laterais são 4 e -4, respectivamente, que são diferentes.
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Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal.
(a) ( )
é contínua em todos os pontos.
Calcule os seguintes limites:
(a)
(a)