é contínua em todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada que é dividida em duas partes: uma para quando é menor que 1 e outra para quando é maior ou igual a 1. O enunciado diz que essa função é contínua em todos os pontos. Nosso objetivo aqui é entender por que isso acontece usando o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos verificar se cada parte da função é contínua nos seus respectivos intervalos e também se a função não “pula” nada no ponto onde as duas partes se encontram, que é em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” ali. Mais tecnicamente, para ser contínua em , três condições devem ser satisfeitas:
  1. A função existe em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos começar analisando a parte da função quando :
Aqui, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Vamos ver para quais valores de isso acontece:
Como estamos considerando , o denominador nunca será zero nesse intervalo. Além disso, o numerador é um polinômio, que é contínuo em todos os lugares. Portanto, essa parte da função é contínua para .

Passo 4

Agora, vamos olhar para a parte da função quando :
Aqui, a raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade, encontramos que para todos os , isso é verdadeiro porque o discriminante e as raízes são e . Como o coeficiente de é positivo, a expressão é sempre positiva para . Além disso, a função raiz quadrada e a função linear são contínuas em seus domínios. Logo, essa parte da função é contínua para .

Passo 5

O último passo é verificar o que acontece no ponto , onde as duas partes da função se encontram. Precisamos garantir que o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao limite pela direita e também seja igual ao valor da função em .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( ):
Simplificando o numerador e o denominador:
Temos uma forma , então aplicamos a regra de L’Hôpital:
Agora, o limite pela direita ( ):
Além disso, o valor da função em é:
Percebemos que o limite pela esquerda é 0, enquanto o limite pela direita e o valor da função em são . Para que a função seja contínua em , esses limites devem ser iguais. Porém, 0 não é igual a , o que indica que houve um erro na verificação.
Na verdade, ao aplicar a regra de L’Hôpital no limite pela esquerda, percebemos que houve um erro. Vamos refazer:
Mas isso sugere que o limite pela esquerda é 0, e o limite pela direita é , que são diferentes. Portanto, a função não é contínua em .

Resposta

Após análise, concluímos que a função não é contínua em todos os pontos, pois existe uma descontinuidade no ponto .

Exercícios relacionados

Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.
Calcule os seguintes limites:
(a)
Considere a função dada por:
Usando o Teorema do Confronto, mostre que a função dada abaixo é contínua em .