é contínua em todos os pontos.
é contínua em todos os pontos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada
que é dividida em duas partes: uma para quando
é menor que 1 e outra para quando
é maior ou igual a 1. O enunciado diz que essa função é contínua em todos os pontos. Nosso objetivo aqui é entender por que isso acontece usando o conceito de continuidade de funções. Para resolver isso, vamos verificar se cada parte da função é contínua nos seus respectivos intervalos e também se a função não “pula” nada no ponto onde as duas partes se encontram, que é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” ali. Mais tecnicamente, para ser contínua em
, três condições devem ser satisfeitas:
- A função existe em
. - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite é igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos começar analisando a parte da função quando
:
Aqui, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Vamos ver para quais valores de
isso acontece:
Como estamos considerando
, o denominador nunca será zero nesse intervalo. Além disso, o numerador é um polinômio, que é contínuo em todos os lugares. Portanto, essa parte da função é contínua para
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a parte da função quando
:
Aqui, a raiz quadrada exige que o que está dentro dela seja maior ou igual a zero:
Resolvendo essa desigualdade, encontramos que para todos os
, isso é verdadeiro porque o discriminante
e as raízes são
e
. Como o coeficiente de
é positivo, a expressão é sempre positiva para
. Além disso, a função raiz quadrada e a função linear
são contínuas em seus domínios. Logo, essa parte da função é contínua para
.
Passo 5
O último passo é verificar o que acontece no ponto
, onde as duas partes da função se encontram. Precisamos garantir que o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao limite pela direita e também seja igual ao valor da função em
.
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (
):
Simplificando o numerador e o denominador:
Temos uma forma
, então aplicamos a regra de L’Hôpital:
Agora, o limite pela direita (
):
Além disso, o valor da função em
é:
Percebemos que o limite pela esquerda é 0, enquanto o limite pela direita e o valor da função em
são
. Para que a função seja contínua em
, esses limites devem ser iguais. Porém, 0 não é igual a
, o que indica que houve um erro na verificação.
Na verdade, ao aplicar a regra de L’Hôpital no limite pela esquerda, percebemos que houve um erro. Vamos refazer:
Mas isso sugere que o limite pela esquerda é 0, e o limite pela direita é
, que são diferentes. Portanto, a função não é contínua em
.
Resposta
Após análise, concluímos que a função
não é contínua em todos os pontos, pois existe uma descontinuidade no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) .
(a) ( )
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal.
(a) ( )
Calcule os seguintes limites:
(a)
(a)
Considere a função
dada por:
Usando o Teorema do Confronto, mostre que a função
dada abaixo é contínua em
.