Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
c) Sejam uma aa proveniente de uma população com função de probabilidade de uma distribuição exponencial com parâmetro . (Resposta: )

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística onde queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro de uma distribuição exponencial. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e maximizar essa função para encontrar o melhor valor de que explica nossos dados.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a função de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
Aqui, é o parâmetro que queremos estimar.

Passo 3

Como temos uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.), a função de verossimilhança é o produto das funções de probabilidade individuais:

Passo 4

Para facilitar a maximização, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, que é mais simples de derivar:

Passo 5

Agora, para encontrar o que maximiza a verossimilhança, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para :

Passo 7

Reconhecemos que , onde é a média amostral. Portanto:

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para é .

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