Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
c) Sejam
uma aa proveniente de uma população com função de probabilidade de uma distribuição exponencial com parâmetro
. (Resposta:
)
c) Sejam
Passo 1
Vamos resolver um problema de estatística onde queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro
de uma distribuição exponencial. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e maximizar essa função para encontrar o melhor valor de
que explica nossos dados.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a função de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
Aqui,
é o parâmetro que queremos estimar.
Passo 3
Como temos uma amostra
independente e identicamente distribuída (i.i.d.), a função de verossimilhança é o produto das funções de probabilidade individuais:
Passo 4
Para facilitar a maximização, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, que é mais simples de derivar:
Passo 5
Agora, para encontrar o
que maximiza a verossimilhança, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Passo 7
Reconhecemos que
, onde
é a média amostral. Portanto:
Resposta
O estimador de máxima verossimilhança para
é
.