Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
c) Sejam uma aa proveniente de uma população com função de probabilidade de uma distribuição exponencial com parâmetro . (Resposta: )
Passo 1
Vamos resolver um problema de estatística onde queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro de uma distribuição exponencial. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e maximizar essa função para encontrar o melhor valor de que explica nossos dados.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a função de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
Aqui, é o parâmetro que queremos estimar.
Passo 3
Como temos uma amostra independente e identicamente distribuída (i.i.d.), a função de verossimilhança é o produto das funções de probabilidade individuais:
Passo 4
Para facilitar a maximização, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, que é mais simples de derivar:
Passo 5
Agora, para encontrar o que maximiza a verossimilhança, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para :
Passo 7
Reconhecemos que , onde é a média amostral. Portanto: