Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
c) Sejam X1, ldots, Xn uma aa proveniente de uma população com função de probabilidade de uma distribuição exponencial com parâmetro lambda. (Resposta: lambda=barX^-1 )

Passo 1

Vamos resolver um problema de estatística onde queremos encontrar o estimador de máxima verossimilhança (MLE) para o parâmetro de uma distribuição exponencial. Para isso, vamos precisar entender como montar a função de verossimilhança e maximizar essa função para encontrar o melhor valor de que explica nossos dados.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a função de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
f(x; lambda) = lambda e^-lambda x para x >= 0
Aqui, é o parâmetro que queremos estimar.

Passo 3

Como temos uma amostra L(lambda) = prodi=1^n lambda e^-lambda Xi = lambda^n e^-lambda sumi=1^n Xi independente e identicamente distribuída (i.i.d.), a função de verossimilhança é o produto das funções de probabilidade individuais:

Passo 4

Para facilitar a maximização, vamos trabalhar com o logaritmo da verossimilhança, que é mais simples de derivar:
ell(lambda) = ln L(lambda) = n ln lambda - lambda sumi=1^n Xi

Passo 5

Agora, para encontrar o dell(lambda)dlambda = nlambda - sumi=1^n Xi = 0 que maximiza a verossimilhança, derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para nlambda = sumi=1^n Xi implies lambda = nsumi=1^n Xi :

Passo 7

Reconhecemos que lambda = nn barX = 1barX , onde é a média amostral. Portanto:

Resposta

O estimador de máxima verossimilhança para é .

Exercícios relacionados