Determine, se existir, a inversa da Matriz A em cada caso: A=[ccc-3 & 4 & 5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a matriz -3 & 4 & 5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4 possui uma inversa. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, mais especificamente sobre matrizes e inversas. Precisamos verificar se o determinante de é diferente de zero, pois somente matrizes quadradas com determinante não nulo têm inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz 3x3, o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a regra de Sarrus:
A = a & b & c d & e & f g & h & i = -3 & 4 & 5 0 & 1 & 2 3 & -5 & 4
Onde os elementos da matriz são:

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
det(A) = (-3)(1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) - 4(0 cdot 4 - 2 cdot 3) + 5(0 cdot (-5) - 1 cdot 3)
Calculando cada parte:
= (-3)(4 + 10) - 4(0 - 6) + 5(0 - 3)
= (-3)(14) - 4(-6) + 5(-3)
= -42 + 24 - 15
= -33

Passo 4

O determinante de é , que é diferente de zero. Isso significa que a matriz é invertível, ou seja, possui uma inversa.

Passo 5

Agora, para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) , vamos utilizar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3:
Onde é a matriz adjunta de . A adjunta é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 6

Primeiro, calculamos a matriz de cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada elemento é dado por:
Onde é o menor complementar do elemento , ou seja, o determinante da submatriz que resulta da remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna de .

Passo 7

Vamos calcular os cofatores:
C11 = (-1)^1+1 cdot 1 & 2 -5 & 4 = 1 cdot (1 cdot 4 - 2 cdot (-5)) = 1 cdot (4 + 10) = 14
C12 = (-1)^1+2 cdot 0 & 2 3 & 4 = -1 cdot (0 cdot 4 - 2 cdot 3) = -1 cdot (-6) = 6
C13 = (-1)^1+3 cdot 0 & 1 3 & -5 = 1 cdot (0 cdot (-5) - 1 cdot 3) = 1 cdot (-3) = -3
C21 = (-1)^2+1 cdot 4 & 5 -5 & 4 = -1 cdot (4 cdot 4 - 5 cdot (-5)) = -1 cdot (16 + 25) = -41
C22 = (-1)^2+2 cdot -3 & 5 3 & 4 = 1 cdot (-3 cdot 4 - 5 cdot 3) = 1 cdot (-12 - 15) = -27
C23 = (-1)^2+3 cdot -3 & 4 3 & -5 = -1 cdot (-3 cdot (-5) - 4 cdot 3) = -1 cdot (15 - 12) = -3
C31 = (-1)^3+1 cdot 4 & 5 1 & 2 = 1 cdot (4 cdot 2 - 5 cdot 1) = 1 cdot (8 - 5) = 3
C32 = (-1)^3+2 cdot -3 & 5 0 & 2 = -1 cdot (-3 cdot 2 - 5 cdot 0) = -1 cdot (-6) = 6
C33 = (-1)^3+3 cdot -3 & 4 0 & 1 = 1 cdot (-3 cdot 1 - 4 cdot 0) = 1 cdot (-3) = -3

Passo 8

Agora, construímos a matriz de cofatores:
Cof(A) = 14 & 6 & -3 -41 & -27 & -3 3 & 6 & -3

Passo 9

A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Adj(A) = Cof(A)^T = 14 & -41 & 3 6 & -27 & 6 -3 & -3 & -3

Passo 10

Finalmente, calculamos a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-33 cdot 14 & -41 & 3 6 & -27 & 6 -3 & -3 & -3 usando a fórmula:
A^-1 = -1433 & 4133 & -333 -633 & 2733 & -633 333 & 333 & 333
A^-1 = -1433 & 4133 & -111 -211 & 911 & -211 111 & 111 & 111
Simplificando as frações:

Resposta

A matriz A^-1 = -1433 & 4133 & -111 -211 & 911 & -211 111 & 111 & 111 possui inversa, e ela é:

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