Determine, se existir, os seguintes limites:
(u) lim x a (raizx-raiza)^2x-a

Passo 1

Então, a gente tem um limite para resolver:
lim x a (raizx-raiza)^2x-a
Esse é um problema de cálculo, mais especificamente de limites. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar umas técnicas básicas de limites para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador (raizx - raiza)^2 = (raizx)^2 - 2raizxraiza + (raiza)^2 = x - 2raizxa + a . Sabemos que , então aplicando isso:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão original do limite:
lim x a x - 2raizxa + ax - a

Passo 4

Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de . Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos simplificar mais para resolver.

Passo 5

Vamos fatorar o numerador. Perceba que x - 2raizxa + a = (x - a) - 2raizxa + 2a está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos reescrever o numerador como:
x - 2raizxa + ax - a = x - ax - a - 2raizxax - a
Mas isso não simplifica diretamente. Então, outra abordagem é dividir todos os termos do numerador pelo denominador:
1 - 2raizxax - a
Isso simplifica para:

Passo 6

Ainda parece complicado, então vamos usar uma técnica conhecida chamada Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como ddx ( (raizx - raiza)^2 ) = 2(raizx - raiza) cdot 12raizx = raizx - raizaraizx . Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Derivando o numerador ddx (x - a) = 1 :
Derivando o denominador :

Passo 7

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite fica:
lim x a raizx - raizaraizx1 = lim x a raizx - raizaraizx

Passo 8

Agora, substituímos raiza - raizaraiza = 0raiza = 0 por :
Mas isso não parece certo, então vamos revisar nossa aplicação da regra.

Passo 9

Na verdade, uma abordagem mais simples é reconhecer que lim x a x - 2raizxa + ax - a = lim x a (x + a) - 2raizxax - a , e reescrever o limite:
12raiza
Podemos fatorar de maneira diferente ou usar substituição para simplificar, mas uma maneira direta é identificar que o limite resulta em:

Resposta

O limite é .

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