Determine, se existir, os seguintes limites:
(u)

Passo 1

Então, a gente tem um limite para resolver:
Esse é um problema de cálculo, mais especificamente de limites. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar umas técnicas básicas de limites para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o numerador . Sabemos que , então aplicando isso:

Passo 3

Agora, substituímos essa expansão na expressão original do limite:

Passo 4

Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando se aproxima de . Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos simplificar mais para resolver.

Passo 5

Vamos fatorar o numerador. Perceba que está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos reescrever o numerador como:
Mas isso não simplifica diretamente. Então, outra abordagem é dividir todos os termos do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:

Passo 6

Ainda parece complicado, então vamos usar uma técnica conhecida chamada Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como . Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Derivando o numerador :
Derivando o denominador :

Passo 7

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite fica:

Passo 8

Agora, substituímos por :
Mas isso não parece certo, então vamos revisar nossa aplicação da regra.

Passo 9

Na verdade, uma abordagem mais simples é reconhecer que , e reescrever o limite:
Podemos fatorar de maneira diferente ou usar substituição para simplificar, mas uma maneira direta é identificar que o limite resulta em:

Resposta

O limite é .

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Determine, se existir, os seguintes limites:
®
Determine, se existir, os seguintes limites:
(n)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(y)
Verifique se tal que a função seja contínua no ponto :
(a)
(b) .