Determine, se existir, os seguintes limites:
(u)
(u)
Passo 1
Então, a gente tem um limite para resolver:
Esse é um problema de cálculo, mais especificamente de limites. Vamos precisar entender como manipular expressões com raízes e aplicar umas técnicas básicas de limites para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o numerador
. Sabemos que
, então aplicando isso:
Passo 3
Agora, substituímos essa expansão na expressão original do limite:
Passo 4
Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando
se aproxima de
. Isso nos dá uma forma indeterminada
, então precisamos simplificar mais para resolver.
Passo 5
Vamos fatorar o numerador. Perceba que
está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos reescrever o numerador como:
Mas isso não simplifica diretamente. Então, outra abordagem é dividir todos os termos do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Passo 6
Ainda parece complicado, então vamos usar uma técnica conhecida chamada Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos formas indeterminadas como
. Essa regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite.
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Passo 7
Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite fica:
Passo 8
Agora, substituímos
por
:
Mas isso não parece certo, então vamos revisar nossa aplicação da regra.
Passo 9
Na verdade, uma abordagem mais simples é reconhecer que
, e reescrever o limite:
Podemos fatorar de maneira diferente ou usar substituição para simplificar, mas uma maneira direta é identificar que o limite resulta em:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine, se existir, os seguintes limites:
®
®
Determine, se existir, os seguintes limites:
(n)
(n)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(y)
(y)
Verifique se
tal que a função seja contínua no ponto
:
(a)
(b) .
(a)
(b)