Determine, se existir, os seguintes limites:
(n) lim x 1 x^2-1|x-1|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de x^2-1|x-1| quando x se aproxima de 1. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades de valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. Sabemos que x^2 - 1 pode ser fatorado como (x -1)(x +1). Então, a expressão fica:
x^2-1|x -1| = (x -1)(x +1)|x -1|

Passo 3

Agora, vamos analisar a fração x -1|x -1|. O valor absoluto de x -1 sempre dá um número positivo, então essa fração será:
x -1|x -1| = 1 & se x > 1 -1 & se x < 1

Passo 4

Com isso, podemos reescrever a expressão original de duas formas, dependendo de como x se aproxima de 1:
  • Se x se aproxima de 1 pela direita ( x to 1^+):
x^2-1|x -1| = 1 cdot (x +1)
  • Se x se aproxima de 1 pela esquerda ( x to 1^-):
x^2-1|x -1| = -1 cdot (x +1)

Passo 5

Vamos calcular os limites de cada lado:
  • Limite pela direita ( x to 1^+):
limx to 1^+ x^2-1|x -1| = limx to 1^+ (x +1) = 1 + 1 = 2
  • Limite pela esquerda ( x to 1^-):
limx to 1^- x^2-1|x -1| = limx to 1^- (-x -1) = -1 -1 = -2

Resposta

Como os limites pelas duas direções são diferentes (2 pela direita e -2 pela esquerda), o limite lim x 1 x^2-1|x-1| não existe.

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