Determine, se existir, os seguintes limites:
(y) lim x 3 raiz(x-3)^2x-3

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente lidando com expressões que envolvem raízes e valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes quadradas e analisar o comportamento da função quando se aproxima de 3 por valores maiores e menores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raiz(x-3)^2 = |x-3| . Sabemos que a raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto do número. Ou seja:
lim x 3 |x-3|x-3
Portanto, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função |x-3| = x - 3 quando |x-3|x-3 = x-3x-3 = 1 se aproxima de 3 por valores maiores que 3 (direita) e por valores menores que 3 (esquerda).
1. Quando lim x 3^+ |x-3|x-3 = 1 se aproxima de 3 pela direita ( |x-3| = -(x - 3) = 3 - x ):
Nesse caso, |x-3|x-3 = 3 - xx - 3 = -(x - 3)x - 3 = -1 é positivo, então:
lim x 3^- |x-3|x-3 = -1
Substituindo na expressão:
Portanto:
2. Quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
Aqui, é negativo, então:
Substituindo na expressão:
Portanto:

Passo 4

Observamos que os limites laterais são diferentes:
lim x 3^+ |x-3|x-3 = 1 e lim x 3^- |x-3|x-3 = -1
Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais. Como nesse caso eles são diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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