Determine, se existir, os seguintes limites:
® lim x 0 raiz2+3 x-raizx+2x+3 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 raiz2+3 x-raizx+2x+3 x^2
Aqui, estamos lidando com limites e funções envolvendo radicais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que se substituirmos raiz2 - raiz20 + 0 = 00 diretamente, teremos:
Isso é uma forma indeterminada, então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador. Para isso, multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada do numerador, que é raiz2+3 x-raizx+2x+3 x^2 times raiz2+3x + raizx+2raiz2+3x + raizx+2 . Assim:

Passo 4

Simplificando o numerador usando a identidade (2 + 3x) - (x + 2)(x + 3x^2)(raiz2+3x + raizx+2) = 2 + 3x - x - 2(x + 3x^2)(raiz2+3x + raizx+2) = 2x(x + 3x^2)(raiz2+3x + raizx+2) :

Passo 5

Agora, simplificamos 2(1 + 3x)(raiz2+3x + raizx+2) no numerador com o 2(1 + 0)(raiz2 + raiz2) = 21 times 2raiz2 = 22raiz2 = 1raiz2 = raiz22 no denominador:
Agora, podemos substituir :

Resposta

lim x 0 raiz2+3 x-raizx+2x+3 x^2 = raiz22

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