Se lim x x0 f(x)=2 e lim x x0 g(x)=3, então calcule lim x x0[f(x)+g(x)]^2 e lim x x0 raiz[3]2[g(x)]^2-5 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente sabe que quando se aproxima de , a função se aproxima de 2 e a função se aproxima de 3. Agora, precisamos calcular dois limites:
Para resolver isso, vamos usar as leis dos limites, que nos dizem como combinar limites de funções quando fazemos operações como soma, multiplicação, potências, etc.

Passo 2

Vamos começar calculando o primeiro limite: limx x0 [f(x) + g(x)] = limx x0 f(x) + limx x0 g(x) .
Primeiro, vamos encontrar o limite da soma dentro do quadrado:
limx x0 [f(x) + g(x)] = 2 + 3 = 5
Sabemos que [limx x0 [f(x) + g(x)]]^2 = 5^2 = 25 e , então:
Agora, elevamos esse resultado ao quadrado:

Passo 3

Agora, vamos calcular o segundo limite: limx x0 (2[g(x)]^2 - 5 f(x)) = 2 cdot limx x0 [g(x)]^2 - 5 cdot limx x0 f(x) .
Primeiro, vamos encontrar o limite dentro da raiz cúbica:
limx x0 [g(x)]^2 = ( limx x0 g(x) )^2 = 3^2 = 9
Para calcular 2 cdot 9 - 5 cdot 2 = 18 - 10 = 8 , usamos a propriedade de limites de potências:
limx x0 raiz[3]2[g(x)]^2 - 5 f(x) = raiz[3]8 = 2
Agora, substituímos de volta:
Então, temos:

Resposta

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