Determine, se existirem, os valores de , nos quais a função não é contínua.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para descobrir se existem valores de no domínio de onde a função não é contínua. A função que vamos analisar é:
Então, vamos precisar entender o que é continuidade e onde a função pode ter problemas na continuidade, como pontos onde a função muda de expressão ou onde o denominador pode ser zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A parte está definida quando o denominador . Resolvendo:
Então, está definida para todos os exceto e . No entanto, vemos que para , a função é definida como 0. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade em pontos críticos:
Ponto : A função está definida de duas maneiras aqui. Precisamos ver se o limite quando se aproxima de -1 é igual ao valor da função em .
Ponto : Embora não esteja no domínio, precisamos verificar o comportamento próximo a esse ponto para entender a continuidade.
Passo 4
Analisando o ponto :
Calculamos o limite de quando se aproxima de -1:
Aqui, o denominador tende a zero, então o limite não existe de forma finita. Isso indica uma descontinuidade no ponto .
Como a função está definida como 0 em , mas o limite não existe, a função não é contínua nesse ponto.
Passo 5
Analisando o ponto :
Embora não esteja no domínio, verificamos o comportamento próximo a esse ponto.
O limite tende ao infinito, o que significa que há uma descontinuidade infinita no ponto .