Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado:
, na reta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
ao longo da reta, ou seja, para todos os números reais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e é fundamental para achar os pontos críticos (onde a inclinação é zero).
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, analisamos a segunda derivada da função, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
A segunda derivada é:
Agora, avaliamos a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Em
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo local.
- Em
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Por último, vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
- Em
:
- Em
:
Resposta
A função
tem:
- Um máximo local de
em . - Um mínimo local de
em .
Não há valores máximos ou mínimos absolutos na reta, já que a função tende ao infinito positivo e negativo quando
aumenta ou diminui sem limites.