Determine, se existirem, os valores máximos e mínimos de cada função a seguir, no intervalo indicado: y = x^3 - 3x + 1, na reta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função ao longo da reta, ou seja, para todos os números reais. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar os pontos onde a função pode atingir esses valores.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e é fundamental para achar os pontos críticos (onde a inclinação é zero).
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero:
Resolvendo a equação:
Então, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos locais. Para isso, analisamos a segunda derivada da função, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
A segunda derivada é:
Agora, avaliamos a segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Em :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo local.
  • Em :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo local.

Passo 5

Por último, vamos encontrar os valores de nesses pontos:
  • Em :
  • Em :

Resposta

A função tem:
  • Um máximo local de em .
  • Um mínimo local de em .
Não há valores máximos ou mínimos absolutos na reta, já que a função tende ao infinito positivo e negativo quando aumenta ou diminui sem limites.

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