Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear T: P2 M(2,2) que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento p(x)=1+x^2 pertence ao N(T);
(ii) o elemento q(x)=1-x+x^2 não pertence ao N(T);
(iii) o elemento A=[cr2 & 3 -1 & 1] pertence à Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear que atenda a três condições específicas. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como núcleo de uma transformação ( ) e imagem ( ). Vamos precisar entender como definir de forma que certas polinômios estejam ou não no núcleo, e que uma matriz específica esteja na imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T(p(x)) = aT(1) + bT(x) + cT(x^2) de um espaço de polinômios para matrizes pode ser representada por uma combinação linear dos coeficientes do polinômio. Ou seja, se tivermos um polinômio , então podemos escrever:
Aqui, , e são matrizes em que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos usar a condição (i): o polinômio T(1 + x^2) = T(1) + T(x^2) = 0 está no núcleo de T(1) = -T(x^2) , ou seja, .
Aplicando no polinômio:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

Agora, consideramos a condição (ii): o polinômio T(1 - x + x^2) = T(1) - T(x) + T(x^2) neq 0 não está no núcleo de -T(x^2) - T(x) + T(x^2) = -T(x) neq 0 . Isso significa que .
Aplicando :
Usando a equação do passo anterior :
Portanto, , o que nos indica que deve ser uma matriz não nula.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição (iii): a matriz 2 & 3 -1 & 1 está na imagem de T(p(x)) = A . Isso significa que existe algum polinômio aT(1) + bT(x) + cT(x^2) = A tal que:
Usando a representação de :

Passo 6

Quanto às equações que temos até agora:
Podemos escolher valores para , e de forma que possamos resolver para , e . Para simplificar, vamos supor que , e não sejam soluções válidas, já que não pode ser zero.

Passo 7

Vamos assumir que T(x^2) = -T(1) , onde aT(1) + bB + c(-T(1)) = A é uma matriz não nula em (a - c)T(1) + bB = A . Então, usando , podemos dizer que:
Agora, substituindo isso na expressão para :
Simplificando:

Passo 8

Para resolver isso, podemos escolher valores específicos para 0 cdot T(1) + 1 cdot B = A implies B = A , T(x) = A e . Por exemplo, suponhamos que e . Assim, a equação fica:
Então, temos:
E, como , podemos definir .

Passo 9

Agora, para determinar (1 - 1)T(1) + 1 cdot A = A , podemos usar a condição que escolhemos . Vamos escolher e . Assim, a equação para fica:
O que é consistente. Portanto, podemos definir como desejarmos, contanto que . Para simplificar, vamos escolher , o que implica .

Passo 10

Com isso, a transformação T(1) = 0, T(x) = A, T(x^2) = 0 fica definida por:
T(p(x)) = a cdot 0 + b cdot A + c cdot 0 = bA
Portanto, para qualquer polinômio em , temos:

Resposta

A transformação linear T(a + bx + cx^2) = b 2 & 3 -1 & 1 que satisfaz as condições do exercício é dada por:

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