Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear
que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento
pertence ao
;
(ii) o elemento
não pertence ao
;
(iii) o elemento
pertence à
.
(i) o elemento
(ii) o elemento
(iii) o elemento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear
que atenda a três condições específicas. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como núcleo de uma transformação (
) e imagem (
). Vamos precisar entender como definir
de forma que certas polinômios estejam ou não no núcleo, e que uma matriz específica esteja na imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
de um espaço de polinômios
para matrizes
pode ser representada por uma combinação linear dos coeficientes do polinômio. Ou seja, se tivermos um polinômio
, então podemos escrever:
Aqui,
,
e
são matrizes em
que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos usar a condição (i): o polinômio
está no núcleo de
, ou seja,
.
Aplicando
no polinômio:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Agora, consideramos a condição (ii): o polinômio
não está no núcleo de
. Isso significa que
.
Aplicando
:
Usando a equação do passo anterior
:
Portanto,
, o que nos indica que
deve ser uma matriz não nula.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição (iii): a matriz
está na imagem de
. Isso significa que existe algum polinômio
tal que:
Usando a representação de
:
Passo 6
Quanto às equações que temos até agora:
Podemos escolher valores para
,
e
de forma que possamos resolver para
,
e
. Para simplificar, vamos supor que
,
e
não sejam soluções válidas, já que
não pode ser zero.
Passo 7
Vamos assumir que
, onde
é uma matriz não nula em
. Então, usando
, podemos dizer que:
Agora, substituindo isso na expressão para
:
Simplificando:
Passo 8
Para resolver isso, podemos escolher valores específicos para
,
e
. Por exemplo, suponhamos que
e
. Assim, a equação fica:
Então, temos:
E, como
, podemos definir
.
Passo 9
Agora, para determinar
, podemos usar a condição que escolhemos
. Vamos escolher
e
. Assim, a equação para
fica:
O que é consistente. Portanto, podemos definir
como desejarmos, contanto que
. Para simplificar, vamos escolher
, o que implica
.
Passo 10
Com isso, a transformação
fica definida por:
Portanto, para qualquer polinômio
em
, temos:
Resposta
A transformação linear
que satisfaz as condições do exercício é dada por:
Exercícios relacionados
Encontre a lei de uma transformação linear
tal que
.
Seja
a transformação linear que satisfaz as igualdades
;
Determine uma base e a dimensão para o núcleo e para o conjunto imagem de
.
Considere as bases
, e a base canônica
de
.
(d) Determine as coordenadas de em relação as bases
e
.
(d) Determine as coordenadas de
Seja
a transformação linear definida por
.
Descreva algebricamente e
.
Descreva algebricamente