Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento pertence ao ;
(ii) o elemento não pertence ao ;
(iii) o elemento pertence à .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma transformação linear que atenda a três condições específicas. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como núcleo de uma transformação ( ) e imagem ( ). Vamos precisar entender como definir de forma que certas polinômios estejam ou não no núcleo, e que uma matriz específica esteja na imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear de um espaço de polinômios para matrizes pode ser representada por uma combinação linear dos coeficientes do polinômio. Ou seja, se tivermos um polinômio , então podemos escrever:
Aqui, , e são matrizes em que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos usar a condição (i): o polinômio está no núcleo de , ou seja, .
Aplicando no polinômio:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

Agora, consideramos a condição (ii): o polinômio não está no núcleo de . Isso significa que .
Aplicando :
Usando a equação do passo anterior :
Portanto, , o que nos indica que deve ser uma matriz não nula.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição (iii): a matriz está na imagem de . Isso significa que existe algum polinômio tal que:
Usando a representação de :

Passo 6

Quanto às equações que temos até agora:
Podemos escolher valores para , e de forma que possamos resolver para , e . Para simplificar, vamos supor que , e não sejam soluções válidas, já que não pode ser zero.

Passo 7

Vamos assumir que , onde é uma matriz não nula em . Então, usando , podemos dizer que:
Agora, substituindo isso na expressão para :
Simplificando:

Passo 8

Para resolver isso, podemos escolher valores específicos para , e . Por exemplo, suponhamos que e . Assim, a equação fica:
Então, temos:
E, como , podemos definir .

Passo 9

Agora, para determinar , podemos usar a condição que escolhemos . Vamos escolher e . Assim, a equação para fica:
O que é consistente. Portanto, podemos definir como desejarmos, contanto que . Para simplificar, vamos escolher , o que implica .

Passo 10

Com isso, a transformação fica definida por:
Portanto, para qualquer polinômio em , temos:

Resposta

A transformação linear que satisfaz as condições do exercício é dada por:

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Encontre a lei de uma transformação linear tal que .
Seja a transformação linear que satisfaz as igualdades ;
Determine uma base e a dimensão para o núcleo e para o conjunto imagem de .
Considere as bases , e a base canônica de .
(d) Determine as coordenadas de em relação as bases e .
Seja a transformação linear definida por .
Descreva algebricamente e .