Considere as bases
, e a base canônica
de
.
(d) Determine as coordenadas de
em relação as bases
e
.
(d) Determine as coordenadas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor
na base canônica
em relação às bases
,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas de um vetor em uma determinada base são os coeficientes que multiplicam os vetores dessa base para formar o vetor original. Ou seja, se temos uma base
, queremos encontrar números
e
tais que
.
Passo 3
Vamos começar encontrando as coordenadas de
na base
. Precisamos resolver o sistema:
Isso resulta nas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 5
Portanto, as coordenadas de
na base
são:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as coordenadas de
na base
. Novamente, queremos encontrar
e
tais que:
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar
:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação original:
Passo 8
Assim, as coordenadas de
na base
são:
Passo 9
Para encontrar as coordenadas em
e
, precisaríamos saber exatamente o que essas bases representam (por exemplo, bases duals ou outras). Entretanto, geralmente, se
é a base dual de
, então as coordenadas de
na base dual são dadas pelos coeficientes obtidos anteriormente.
Resposta
As coordenadas de
são:
Exercícios relacionados
Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear
que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento pertence ao
;
(ii) o elemento não pertence ao
;
(iii) o elemento pertence à
.
(i) o elemento
(ii) o elemento
(iii) o elemento
Encontre a lei de uma transformação linear
tal que
.
Seja
a transformação linear definida por
.
Descreva algebricamente e
.
Descreva algebricamente
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que
.