Considere as bases , e a base canônica de .
(d) Determine as coordenadas de em relação as bases e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor na base canônica em relação às bases , , e . Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas de um vetor em uma determinada base são os coeficientes que multiplicam os vetores dessa base para formar o vetor original. Ou seja, se temos uma base , queremos encontrar números e tais que .

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas de na base . Precisamos resolver o sistema:
Isso resulta nas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na primeira equação:
Então,

Passo 5

Portanto, as coordenadas de na base são:

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de na base . Novamente, queremos encontrar e tais que:
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação original:

Passo 8

Assim, as coordenadas de na base são:

Passo 9

Para encontrar as coordenadas em e , precisaríamos saber exatamente o que essas bases representam (por exemplo, bases duals ou outras). Entretanto, geralmente, se é a base dual de , então as coordenadas de na base dual são dadas pelos coeficientes obtidos anteriormente.

Resposta

As coordenadas de são:

Exercícios relacionados

Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento pertence ao ;
(ii) o elemento não pertence ao ;
(iii) o elemento pertence à .
Encontre a lei de uma transformação linear tal que .
Seja a transformação linear definida por .
Descreva algebricamente e .
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .