Considere as bases B=(1,2),(-2,1), D=(-3,4),(12,9), e a base canônica C de R^2.
(d) Determine as coordenadas de [v]C=(1,1)C em relação as bases B, D, B^prime e D^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear. A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do vetor v = (1,1) na base canônica C em relação às bases B, D, B^prime e D^prime. Para isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra usando matrizes de mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as coordenadas de um vetor em uma determinada base são os coeficientes que multiplicam os vetores dessa base para formar o vetor original. Ou seja, se temos uma base B = b1, b2, queremos encontrar números x e y tais que v = xb1 + yb2.

Passo 3

Vamos começar encontrando as coordenadas de v = (1,1) na base B = (1,2), (-2,1). Precisamos resolver o sistema:
x 1 2 + y -2 1 = 1 1
Isso resulta nas equações:
1x - 2y = 1 2x + 1y = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar y em termos de x:
2x + y = 1 Rightarrow y = 1 - 2x
Substituindo na primeira equação:
x - 2(1 - 2x) = 1 x - 2 + 4x = 1 5x - 2 = 1 5x = 3 x = 35
Então,
y = 1 - 2(35) = 1 - 65 = -15

Passo 5

Portanto, as coordenadas de v na base B são:
[v]B = ( 35, -15 )

Passo 6

Agora, vamos encontrar as coordenadas de v = (1,1) na base D = (-3,4), (12,9). Novamente, queremos encontrar x e y tais que:
x -3 4 + y 12 9 = 1 1
Isso nos dá o sistema:
-3x + 12y = 1 4x + 9y = 1

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para eliminar x:
-12x + 48y = 4 12x + 27y = 3
Somando as duas equações:
-12x + 48y + 12x + 27y = 4 + 3 75y = 7 y = 775
Substituindo na primeira equação original:
-3x + 12(775) = 1 -3x + 8475 = 1 -3x = 1 - 8475 = 7575 - 8475 = -975 x = 375 = 125

Passo 8

Assim, as coordenadas de v na base D são:
[v]D = ( 125, 775 )

Passo 9

Para encontrar as coordenadas em B^prime e D^prime, precisaríamos saber exatamente o que essas bases representam (por exemplo, bases duals ou outras). Entretanto, geralmente, se B^prime é a base dual de B, então as coordenadas de v na base dual são dadas pelos coeficientes obtidos anteriormente.

Resposta

As coordenadas de v = (1,1) são:
[v]B = ( 35, -15 ), [v]D = ( 125, 775 )

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