Encontre a lei de uma transformação linear T: R^4 R^4 tal que N(T)=>=r(1,1,1,0),(0,0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar a lei de uma transformação linear tal que o núcleo de , denotado por , seja gerado pelos vetores e .
O que vamos precisar:
  • Transformações Lineares: Entender o que são e como se representam.
  • Núcleo de uma Transformação Linear: Saber o que significa e como encontrá-lo.
  • Espaços Vetoriais: Compreender geração e dimensões.
  • Teorema da Dimensão (Rank-Nullity): Relacionar a dimensão do núcleo e da imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo N(T) = v in R^4 mid T(v) = 0 de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
No nosso caso, é gerado pelos vetores e , o que significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e da Imagem), que nos diz:
dim(N(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^4) = 4
Aqui, 2 + dim(Im(T)) = 4 implies dim(Im(T)) = 2 porque temos dois vetores que geram . Portanto:
Isso significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 2.

Passo 4

Como queremos uma transformação linear, podemos representá-la por uma matriz de tamanho tal que .
Para encontrar , precisamos garantir que:
  1. Os vetores que geram estejam no núcleo de , ou seja, e .
  2. A imagem de tenha dimensão 2.

Passo 5

Vamos construir a matriz A 1 1 1 0 = 0 e A 0 0 0 1 = 0 passo a passo. Primeiro, sabemos que as colunas correspondentes aos vetores no núcleo devem anular esses vetores. Ou seja:
Isso significa que as linhas de devem ser ortogonais a esses vetores. Uma maneira de garantir isso é escolher linhas que satisfaçam essas condições.

Passo 6

Vamos supor que a matriz A = a & b & c & d e & f & g & h i & j & k & l m & n & o & p tenha as seguintes linhas:
A 1 1 1 0 = a + b + c e + f + g i + j + k m + n + o = 0 0 0 0
Impondo as condições:
A 0 0 0 1 = d h l p = 0 0 0 0
a + b + c = 0
Isso nos dá as equações:
e + f + g = 0
i + j + k = 0
m + n + o = 0
d = 0
h = 0
l = 0
p = 0

Passo 7

Resolver essas equações nos dá restrições nas entradas de A = 1 & -1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 & 0 . Vamos escolher valores para algumas variáveis livres para simplificar. Por exemplo, podemos escolher , , então (para satisfazer ). Repetindo isso para as outras linhas:

Passo 8

Agora, verificamos se a imagem de A = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 tem dimensão 2. Observando a matriz acima, vemos que todas as linhas são iguais, o que significa que o posto (rank) de é 1, o que não atende ao nosso requisito de .
Vamos ajustar nossa escolha. Vamos deixar duas linhas independentes. Por exemplo:

Passo 9

Agora, a matriz x1 - x2 = 0 x2 - x3 = 0 tem duas linhas não nulas e independentes, garantindo que x1 = x2 = x3 . Vamos verificar o núcleo novamente:
Para x4 é livre , temos:
é
Então, o núcleo é gerado por e , conforme desejado.

Resposta

A lei da transformação linear T(x) = Ax = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 é dada pela matriz:

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