Encontre a lei de uma transformação linear tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você pediu para encontrar a lei de uma transformação linear tal que o núcleo de , denotado por , seja gerado pelos vetores e .
O que vamos precisar:
Transformações Lineares: Entender o que são e como se representam.
Núcleo de uma Transformação Linear: Saber o que significa e como encontrá-lo.
Espaços Vetoriais: Compreender geração e dimensões.
Teorema da Dimensão (Rank-Nullity): Relacionar a dimensão do núcleo e da imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
No nosso caso, é gerado pelos vetores e , o que significa que qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Passo 3
Vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e da Imagem), que nos diz:
Aqui, porque temos dois vetores que geram . Portanto:
Isso significa que a imagem de é um subespaço de de dimensão 2.
Passo 4
Como queremos uma transformação linear, podemos representá-la por uma matriz de tamanho tal que .
Para encontrar , precisamos garantir que:
Os vetores que geram estejam no núcleo de , ou seja, e .
A imagem de tenha dimensão 2.
Passo 5
Vamos construir a matriz passo a passo. Primeiro, sabemos que as colunas correspondentes aos vetores no núcleo devem anular esses vetores. Ou seja:
Isso significa que as linhas de devem ser ortogonais a esses vetores. Uma maneira de garantir isso é escolher linhas que satisfaçam essas condições.
Passo 6
Vamos supor que a matriz tenha as seguintes linhas:
Impondo as condições:
Isso nos dá as equações:
Passo 7
Resolver essas equações nos dá restrições nas entradas de . Vamos escolher valores para algumas variáveis livres para simplificar. Por exemplo, podemos escolher , , então (para satisfazer ). Repetindo isso para as outras linhas:
Passo 8
Agora, verificamos se a imagem de tem dimensão 2. Observando a matriz acima, vemos que todas as linhas são iguais, o que significa que o posto (rank) de é 1, o que não atende ao nosso requisito de .
Vamos ajustar nossa escolha. Vamos deixar duas linhas independentes. Por exemplo:
Passo 9
Agora, a matriz tem duas linhas não nulas e independentes, garantindo que . Vamos verificar o núcleo novamente:
Para , temos:
é
Então, o núcleo é gerado por e , conforme desejado.