Seja
a transformação linear definida por
.
Descreva algebricamente
e
.
Descreva algebricamente
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é descrever algebricamente o núcleo de
, que é
, e a imagem de
, que é
. Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo
. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios
tais que
.
Passo 3
Vamos estabelecer a equação
. Substituindo na definição de
, temos:
Para que esse polinômio seja igual ao zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Então, igualamos cada termo a zero.
Passo 4
Vamos igualar os coeficientes:
Resolvendo essas equações, temos que
e
.
Passo 5
Com
e
, o polinômio original fica:
Ou seja, qualquer polinômio no núcleo é apenas uma constante
.
Passo 6
Portanto, o núcleo
é o conjunto de todos os polinômios constantes, que podemos escrever como:
Passo 7
Agora vamos determinar a imagem
. A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando
a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, queremos todos os polinômios que podem ser escritos na forma
.
Passo 8
Vamos expandir
:
Observamos que a imagem consiste em polinômios de grau no máximo 2, mas com o termo constante igual a zero.
Passo 9
Portanto, a imagem
é o conjunto de todos os polinômios da forma
, onde
e
são reais. Isso pode ser descrito como:
Resposta
O núcleo de
é
e a imagem de
é
.
Exercícios relacionados
Considere as bases
, e a base canônica
de
.
(d) Determine as coordenadas de em relação as bases
e
.
(d) Determine as coordenadas de
Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear
que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento pertence ao
;
(ii) o elemento não pertence ao
;
(iii) o elemento pertence à
.
(i) o elemento
(ii) o elemento
(iii) o elemento
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que
.
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que
.