Seja T: P2 P2 a transformação linear definida por T(a+b x+c x^2)=x(b+2 c x).
Descreva algebricamente N(T) e Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descrever algebricamente o núcleo de , que é , e a imagem de , que é . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios tais que .

Passo 3

Vamos estabelecer a equação x(b + 2 c x) = 0 . Substituindo na definição de , temos:
Para que esse polinômio seja igual ao zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Então, igualamos cada termo a zero.

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes:
b = 0 2c = 0
Resolvendo essas equações, temos que e .

Passo 5

Com a + 0 cdot x + 0 cdot x^2 = a e , o polinômio original fica:
Ou seja, qualquer polinômio no núcleo é apenas uma constante .

Passo 6

Portanto, o núcleo N(T) = , a mid a in R , é o conjunto de todos os polinômios constantes, que podemos escrever como:

Passo 7

Agora vamos determinar a imagem . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, queremos todos os polinômios que podem ser escritos na forma .

Passo 8

Vamos expandir x(b + 2 c x) = b x + 2 c x^2 :
Observamos que a imagem consiste em polinômios de grau no máximo 2, mas com o termo constante igual a zero.

Passo 9

Portanto, a imagem Im(T) = , b x + 2 c x^2 mid b, c in R , é o conjunto de todos os polinômios da forma , onde e são reais. Isso pode ser descrito como:

Resposta

O núcleo de é e a imagem de é .

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