Seja a transformação linear definida por .
Descreva algebricamente e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descrever algebricamente o núcleo de , que é , e a imagem de , que é . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear e como encontrá-los usando álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo . O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Ou seja, queremos encontrar todos os polinômios tais que .

Passo 3

Vamos estabelecer a equação . Substituindo na definição de , temos:
Para que esse polinômio seja igual ao zero, todos os coeficientes devem ser iguais a zero. Então, igualamos cada termo a zero.

Passo 4

Vamos igualar os coeficientes:
Resolvendo essas equações, temos que e .

Passo 5

Com e , o polinômio original fica:
Ou seja, qualquer polinômio no núcleo é apenas uma constante .

Passo 6

Portanto, o núcleo é o conjunto de todos os polinômios constantes, que podemos escrever como:

Passo 7

Agora vamos determinar a imagem . A imagem de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor do espaço de partida. No nosso caso, queremos todos os polinômios que podem ser escritos na forma .

Passo 8

Vamos expandir :
Observamos que a imagem consiste em polinômios de grau no máximo 2, mas com o termo constante igual a zero.

Passo 9

Portanto, a imagem é o conjunto de todos os polinômios da forma , onde e são reais. Isso pode ser descrito como:

Resposta

O núcleo de é e a imagem de é .

Exercícios relacionados

Considere as bases , e a base canônica de .
(d) Determine as coordenadas de em relação as bases e .
Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
(i) o elemento pertence ao ;
(ii) o elemento não pertence ao ;
(iii) o elemento pertence à .
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .
Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
tal que .